Zamknięte1 pkt
Stereometria
60%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek).
Kąt \(\alpha\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek
A
\(\alpha=45^\circ\)
B
\(45^\circ<\alpha<60^\circ\)
C
\(\alpha>60^\circ\)
D
\(\alpha=60^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Długości krawędzi bocznych
Krawędź NS jest prostopadła do podstawy, więc trójkąty KNS i MNS są prostokątne. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
\[KS=\sqrt{KN^2+NS^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2,\qquad MS=\sqrt{MN^2+NS^2}=4\sqrt2\]
2 Przekątna podstawy
Odcinek KM jest przekątną kwadratu o boku 4.
\[KM=\sqrt{KL^2+LM^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\]
3 Wyznaczenie kąta
Trójkąt KSM ma trzy równe boki, więc jest równoboczny. Każdy jego kąt ma 60°.
\[KS=MS=KM=4\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad\alpha=60^\circ\]
Odpowiedź
Odpowiedź D: α = 60°.
\[\boxed{\alpha=60^\circ\quad\text{(D)}}\]
Sprawdzenie
Obie krawędzie boczne i przekątna podstawy mają długość 4√2, więc trójkąt KSM jest równoboczny, a jego kąt przy S rzeczywiście ma 60°.
\[KS=MS=KM=4\sqrt2\]