Matematyka — matura 2018

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(2\log_{3}6-\log_{3}4\) jest równa

\(4\)

\(2\)

\(2\log_{3}2\)

\(\log_{3}8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Korzystamy z własności potęgi i ilorazu logarytmów, ponieważ wszystkie argumenty są dodatnie.

\[2\log_{3}6-\log_{3}4=\log_{3}6^{2}-\log_{3}4=\log_{3}\frac{36}{4}=\log_{3}9\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(3^{2}=9\), logarytm jest równy 2.

\[\log_{3}9=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: 2.

\[2\]

Sprawdzenie

Niezależnie, \(6=3\cdot2\) i \(4=2^{2}\), więc składniki zawierające \(\log_{3}2\) się redukują.

\[2\log_{3}6-\log_{3}4=2(1+\log_{3}2)-2\log_{3}2=2\]

Zadanie 2

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{3}{2\sqrt[3]{21}}\)

\(\frac{3}{2}\)

\(\frac{9}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Łączenie pierwiastków

Pierwiastki mają ten sam stopień, więc można pomnożyć liczby pod pierwiastkami i skrócić ułamek.

\[\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{7\cdot81}{3\cdot56}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\]

2 Obliczenie pierwiastka

Licznik i mianownik są sześcianami liczb całkowitych.

\[\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Sześcian otrzymanej liczby jest równy iloczynowi liczb pod pierwiastkami.

\[\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{8}=\frac{7}{3}\cdot\frac{81}{56}\]

Zadanie 3

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są liczby \(a=3{,}6\cdot10^{-12}\) oraz \(b=2{,}4\cdot10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy

\(8{,}64\cdot10^{-32}\)

\(1{,}5\cdot10^{-8}\)

\(1{,}5\cdot10^{8}\)

\(8{,}64\cdot10^{32}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podziel współczynniki i potęgi

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{a}{b}=\frac{3{,}6}{2{,}4}\cdot10^{-12-(-20)}=1{,}5\cdot10^8\]

Odpowiedź

Iloraz wynosi \(1{,}5\cdot10^8\). Odpowiedź C.

\[\frac{a}{b}=1{,}5\cdot10^8\]

Sprawdzenie

Mnożąc otrzymany iloraz przez \(b\), otrzymujemy \(a\).

\[(1{,}5\cdot10^8)(2{,}4\cdot10^{-20})=3{,}6\cdot10^{-12}=a\]

Zadanie 4

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

87%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował

865,00 zł

850,15 zł

1000,00 zł

977,50 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

Po obniżce o 15% cena stanowi 85% ceny początkowej x.

\[0{,}85x=850\ \text{zł}\]

2 Oblicz cenę początkową

Dzielimy obie strony równania przez 0,85.

\[x=\frac{850}{0{,}85}=1000\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Rower kosztował przed obniżką 1000,00 zł. Odpowiedź C.

\[\boxed{1000{,}00\ \text{zł}\quad\text{C}}\]

Sprawdzenie

15% z 1000 zł to 150 zł, więc po obniżce cena wynosi 850 zł.

\[1000\ \text{zł}-0{,}15\cdot1000\ \text{zł}=850\ \text{zł}\]

Zadanie 5

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{1-2x}{2}>\frac{1}{3}\) jest przedział

\(\left(-\infty,\frac{1}{6}\right)\)

\(\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\)

\(\left(\frac{1}{6},+\infty\right)\)

\(\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianowniki

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 6, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{1-2x}{2}>\frac13\iff 3(1-2x)>2\iff 3-6x>2\]

2 Wyznacz x

Odejmujemy 3, a następnie dzielimy przez liczbę ujemną, więc odwracamy znak nierówności.

\[-6x>-1\iff x<\frac16\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: przedział od minus nieskończoności do 1/6, bez końca 1/6.

\[x\in\left(-\infty,\frac16\right)\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 nierówność jest prawdziwa. Dla x = 1/6 obie strony są równe 1/3, więc ten punkt nie należy do zbioru rozwiązań.

\[x=0:\ \frac12>\frac13;\qquad x=\frac16:\ \frac{1-2x}{2}=\frac13\]

Zadanie 6

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

\(x_1+x_2=-8\)

\(x_1+x_2=-2\)

\(x_1+x_2=2\)

\(x_1+x_2=8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Ponieważ czynnik −2 jest różny od zera, iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z nawiasów jest równy zeru.

\[-2(x+3)(x-5)=0\iff x+3=0\ \text{lub}\ x-5=0\iff x=-3\ \text{lub}\ x=5\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy otrzymane miejsca zerowe i wybieramy odpowiadającą im odpowiedź.

\[x_1+x_2=-3+5=2\]

Odpowiedź

C. Suma miejsc zerowych wynosi 2.

\[x_1+x_2=2\]

Sprawdzenie

Dla obu otrzymanych liczb jeden z czynników wzoru funkcji jest zerem, więc są to jej różne miejsca zerowe.

\[f(-3)=-2\cdot0\cdot(-8)=0,\qquad f(5)=-2\cdot8\cdot0=0\]

Zadanie 7

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\)

ma trzy rozwiązania: \(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\)

ma dwa rozwiązania: \(x=0\), \(x=-2\)

ma dwa rozwiązania: \(x=-2\), \(x=2\)

ma jedno rozwiązanie: \(x=0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.

\[x^2-4=(x-2)(x+2)\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq -2,\;x\neq 2\]

2 Wyzerowanie licznika

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera. Spośród dwóch kandydatów tylko \(x=0\) należy do dziedziny.

\[x^2+2x=x(x+2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\;\text{lub}\;x=-2\]

Odpowiedź

Równanie ma jedno rozwiązanie: \(x=0\). Odpowiedź D.

\[x=0\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) mianownik wynosi \(-4\), a wartość ułamka wynosi \(0\). Wartość \(x=-2\) jest wykluczona, bo zeruje mianownik.

\[\frac{0^2+2\cdot 0}{0^2-4}=\frac{0}{-4}=0\]

Zadanie 8

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x-1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.

Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0,\frac{1}{3}\right)\).

Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).

Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0,\frac{1}{3}\right)\).

Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal monotoniczność

Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca.

\[a=\frac{1}{3}>0\]

2 Wyznacz punkt przecięcia z osią Oy

Na osi Oy współrzędna x wynosi 0, dlatego obliczamy wartość funkcji dla x=0.

\[f(0)=\frac{1}{3}\cdot 0-1=-1,\qquad P=(0,-1)\]

Odpowiedź

Prawdziwe jest zdanie D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Dla 0<1 otrzymujemy f(0)=-1 oraz f(1)=-2/3, więc wartości rosną. Punkt (0,-1) należy do wykresu.

\[f(1)=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}>-1=f(0)\]

Zadanie 9

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x-3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

\((-6,-3)\)

\((-6,69)\)

\((3,-12)\)

\((6,-3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwszej współrzędnej

Dla funkcji kwadratowej \(ax^2+bx+c\) pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \(-\frac{b}{2a}\). Tutaj \(a=1\) i \(b=-6\).

\[x_w=-\frac{-6}{2\cdot1}=3\]

2 Obliczenie drugiej współrzędnej

Druga współrzędna wierzchołka to wartość funkcji dla \(x=3\).

\[y_w=f(3)=3^2-6\cdot3-3=9-18-3=-12\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne \((3,-12)\). Odpowiedź C.

\[W=(3,-12)\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej otrzymujemy \(f(x)=(x-3)^2-12\). Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest dodatni, wierzchołek rzeczywiście leży w punkcie \((3,-12)\).

\[x^2-6x-3=(x-3)^2-12\]

Zadanie 10

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), a punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy

\(1\)

\(\frac{3}{2}\)

\(-\frac{3}{2}\)

\(-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie warunków

Miejsce zerowe oznacza, że \(f(1)=0\), a przynależność punktu \(M\) do wykresu oznacza, że \(f(3)=-2\).

\[a+b=0,\qquad 3a+b=-2\]

2 Obliczenie współczynnika

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, aby wyeliminować \(b\).

\[(3a+b)-(a+b)=-2-0\quad\Rightarrow\quad 2a=-2\quad\Rightarrow\quad a=-1\]

Odpowiedź

Współczynnik \(a\) jest równy \(-1\). Odpowiedź D.

\[a=-1\]

Sprawdzenie

Z pierwszego równania wynika \(b=1\). Wtedy \(f(1)=0\) oraz \(f(3)=-2\), więc oba warunki są spełnione.

\[f(x)=-x+1,\qquad f(1)=-1+1=0,\qquad f(3)=-3+1=-2\]

Zadanie 11

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{5-2n}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest

arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).

arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).

geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).

geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy kolejnych wyrazów

Stała różnica kolejnych wyrazów oznacza, że ciąg jest arytmetyczny. Obliczamy ją dla dowolnego \(n\geq 1\).

\[a_{n+1}-a_n=\frac{5-2(n+1)}{6}-\frac{5-2n}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r=-\frac{1}{3}\). Odpowiedź A.

\[r=-\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Pierwsze trzy wyrazy to \(\frac12\), \(\frac16\), \(-\frac16\). Obie kolejne różnice wynoszą \(-\frac13\), zgodnie z obliczeniem dla dowolnego \(n\).

\[\frac16-\frac12=-\frac13,\qquad -\frac16-\frac16=-\frac13\]

Zadanie 12

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

86%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest spełniony warunek \(a_4+a_5+a_6=12\). Wtedy

\(a_5=4\)

\(a_5=3\)

\(a_5=6\)

\(a_5=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sąsiednich wyrazów

W ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o tę samą wartość r, więc wyrazy po obu stronach a₅ zapisujemy za pomocą a₅ i r.

\[a_4=a_5-r,\qquad a_6=a_5+r\]

2 Obliczenie piątego wyrazu

Po podstawieniu do podanego warunku różnice r się znoszą.

\[(a_5-r)+a_5+(a_5+r)=12\quad\Rightarrow\quad 3a_5=12\quad\Rightarrow\quad a_5=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: a₅ = 4.

\[a_5=4\]

Sprawdzenie

Dla a₅ = 4 sąsiednie wyrazy mają postać 4 − r i 4 + r, a ich suma z a₅ wynosi 12 dla każdej różnicy r.

\[(4-r)+4+(4+r)=12\]

Zadanie 13

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}\), \(a_2=2\sqrt{2}\), \(a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać

\(a_n=(\sqrt{2})^n\)

\(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

\(a_n=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\)

\(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\]

2 Wyznaczenie wzoru

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i przekształcamy go do postaci podanej w odpowiedziach.

\[a_n=a_1q^{n-1}=\sqrt{2}\cdot 2^{n-1}=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\]

Sprawdzenie

Dla n równego 1, 2 i 3 wzór daje odpowiednio trzy wyrazy podane w treści; obowiązuje dla n co najmniej 1.

\[a_1=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\quad a_2=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2},\quad a_3=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\]

Zadanie 14

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość 3, a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość 8 (zobacz rysunek).

Wtedy miara \(\alpha\) kąta ostrego \(LKM\) tego trójkąta spełnia warunek

Trójkąt prostokątny KLM z kątem prostym przy M, bokiem LM oznaczonym 3, przeciwprostokątną KL oznaczoną 8 i kątem α przy K.

\(27^\circ<\alpha\leq 30^\circ\)

\(24^\circ<\alpha\leq 27^\circ\)

\(21^\circ<\alpha\leq 24^\circ\)

\(18^\circ<\alpha\leq 21^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa kąta

Bok LM leży naprzeciw kąta α, a KL jest przeciwprostokątną, więc korzystamy z definicji sinusa.

\[\sin\alpha=\frac{LM}{KL}=\frac{3}{8}=0{,}375\]

2 Wyznaczenie przedziału

Obliczamy miarę kąta ostrego o takim sinusie i porównujemy ją z przedziałami w odpowiedziach.

\[\alpha=\arcsin\left(\frac{3}{8}\right)\approx22{,}02^\circ,\qquad 21^\circ<\alpha\leq24^\circ\]

Odpowiedź

C. Miara kąta α należy do przedziału (21°, 24°].

\[\boxed{\mathrm{C}:\ 21^\circ<\alpha\leq24^\circ}\]

Sprawdzenie

Sinus rośnie dla kątów ostrych. Ponieważ sin 21° ≈ 0,3584 < 0,375 < 0,4067 ≈ sin 24°, wybrany przedział jest poprawny.

\[\sin21^\circ\approx0{,}3584<\frac38<0{,}4067\approx\sin24^\circ\]

Zadanie 15

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}\), \(3\sqrt{5}\), \(4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

\(10,\ 15,\ 20\)

\(20,\ 45,\ 80\)

\(\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{4}\)

\(\sqrt{5},\ 2\sqrt{5},\ 3\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie proporcji boków

W trójkątach podobnych odpowiednie boki są proporcjonalne. Dzielimy długości danych boków przez wspólny czynnik.

\[2\sqrt{5}:3\sqrt{5}:4\sqrt{5}=2:3:4\]

2 Wybór odpowiedzi

Boki w odpowiedzi A mają tę samą proporcję.

\[10:15:20=2:3:4\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: boki mają długości 10, 15, 20.

\[(10,15,20)\]

Sprawdzenie

Każdy bok w odpowiedzi A jest √5 razy dłuższy od odpowiadającego mu boku danego trójkąta. Ponadto 10+15>20, więc te długości tworzą trójkąt.

\[\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{15}{3\sqrt{5}}=\frac{20}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5},\qquad 10+15>20\]

Zadanie 16

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek \(\alpha+\beta=111^\circ\). Wynika stąd, że

Okrąg o środku S z punktami K, L i M oraz zaznaczonymi kątami α przy S i β przy M.

\(\alpha=74^\circ\)

\(\alpha=76^\circ\)

\(\alpha=70^\circ\)

\(\alpha=72^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o kątach

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku KL, więc kąt środkowy ma miarę dwa razy większą.

\[\alpha=2\beta\]

2 Obliczenie miar kątów

Podstawiamy tę zależność do podanej sumy miar kątów.

\[2\beta+\beta=111^\circ\quad\Rightarrow\quad\beta=37^\circ\quad\Rightarrow\quad\alpha=74^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: α = 74°.

\[\boxed{\alpha=74^\circ\;\text{(A)}}\]

Sprawdzenie

Kąt środkowy 74° jest dwa razy większy od kąta wpisanego 37°, a ich suma wynosi 111°.

\[74^\circ=2\cdot37^\circ,\qquad 74^\circ+37^\circ=111^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trapez prostokątny \(KLMN\), którego podstawy mają długości \(|KL|=a\), \(|MN|=b\), \(a>b\). Kąt \(KLM\) ma miarę \(60^\circ\). Długość ramienia \(LM\) tego trapezu jest równa

Trapez prostokątny KLMN z dolną podstawą KL oznaczoną a i górną podstawą MN oznaczoną b.

\(a-b\)

\(2(a-b)\)

\(a+\frac{1}{2}b\)

\(\frac{a+b}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinka przy kącie

Po opuszczeniu z punktu M prostopadłej na podstawę KL powstaje trójkąt prostokątny. Jego przyprostokątna leżąca na KL ma długość równą różnicy długości podstaw.

\[a-b\]

2 Obliczenie ramienia

W tym trójkącie ramię LM jest przeciwprostokątną, więc stosujemy cosinus kąta 60°.

\[\cos 60^\circ=\frac{a-b}{|LM|}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad |LM|=2(a-b)\]

Odpowiedź

Długość ramienia LM wynosi 2(a−b). Odpowiedź B.

\[|LM|=2(a-b)\]

Sprawdzenie

Ponieważ a>b, otrzymana długość jest dodatnia. Jej rzut na podstawę ma długość 2(a−b)·cos 60°=a−b, zgodnie z różnicą podstaw.

\[2(a-b)\cdot\frac12=a-b\]

Zadanie 18

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkt \(K=(2,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(KLM\), w którym \(|KM|=|LM|\). Odcinek \(MN\) jest wysokością trójkąta i \(N=(4,3)\). Zatem

\(L=(5,3)\)

\(L=(6,4)\)

\(L=(3,5)\)

\(L=(4,6)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka podstawy

Ponieważ \(|KM|=|LM|\), odcinek \(KL\) jest podstawą trójkąta równoramiennego. Wysokość poprowadzona z wierzchołka \(M\) dzieli podstawę na połowy, więc \(N\) jest środkiem \(KL\).

\[N=\left(\frac{x_K+x_L}{2},\frac{y_K+y_L}{2}\right)\]

2 Obliczenie współrzędnych punktu L

Podstawiamy współrzędne punktów \(K\) i \(N\) do wzoru na środek odcinka.

\[4=\frac{2+x_L}{2}\Rightarrow x_L=6,\qquad 3=\frac{2+y_L}{2}\Rightarrow y_L=4\]

Odpowiedź

B. Punkt L ma współrzędne (6,4).

\[L=(6,4)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka o końcach K=(2,2) i L=(6,4) ma współrzędne (4,3), czyli jest punktem N.

\[\left(\frac{2+6}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(4,3)=N\]

Zadanie 19

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

82%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Proste o równaniach \(y=(m+2)x+3\) oraz \(y=(2m-1)x-3\) są równoległe, gdy

\(m=2\)

\(m=3\)

\(m=0\)

\(m=1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste w postaci \(y=ax+b\) są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Przyrównujemy więc współczynniki stojące przy \(x\).

\[m+2=2m-1\]

2 Wyznaczenie parametru

Przenosimy wyrazy z \(m\) na jedną stronę równania, a liczby na drugą.

\[m+2=2m-1\;\Longrightarrow\;3=m\]

Odpowiedź

Proste są równoległe dla \(m=3\). Odpowiedź B.

\[m=3\]

Sprawdzenie

Dla \(m=3\) oba współczynniki kierunkowe wynoszą \(5\), a wyrazy wolne \(3\) i \(-3\) są różne. Są to więc dwie różne proste równoległe.

\[m+2=3+2=5,\qquad 2m-1=2\cdot3-1=5\]

Zadanie 20

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek).

Kąt \(\alpha\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek

Ostrosłup o podstawie kwadratowej KLMN i wierzchołku S, z zaznaczonym kątem α między krawędziami KS i MS.

\(\alpha=45^\circ\)

\(45^\circ<\alpha<60^\circ\)

\(\alpha>60^\circ\)

\(\alpha=60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długości krawędzi bocznych

Krawędź NS jest prostopadła do podstawy, więc trójkąty KNS i MNS są prostokątne. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[KS=\sqrt{KN^2+NS^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2,\qquad MS=\sqrt{MN^2+NS^2}=4\sqrt2\]

2 Przekątna podstawy

Odcinek KM jest przekątną kwadratu o boku 4.

\[KM=\sqrt{KL^2+LM^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\]

3 Wyznaczenie kąta

Trójkąt KSM ma trzy równe boki, więc jest równoboczny. Każdy jego kąt ma 60°.

\[KS=MS=KM=4\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad\alpha=60^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: α = 60°.

\[\boxed{\alpha=60^\circ\quad\text{(D)}}\]

Sprawdzenie

Obie krawędzie boczne i przekątna podstawy mają długość 4√2, więc trójkąt KSM jest równoboczny, a jego kąt przy S rzeczywiście ma 60°.

\[KS=MS=KM=4\sqrt2\]

Zadanie 21

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(\alpha\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45^\circ\) (zobacz rysunek).

Wysokość graniastosłupa jest równa

Graniastosłup prosty o podstawie prostokątnej z bokami oznaczonymi 4 i 3; zaznaczono przekątną graniastosłupa oraz kąt α z podstawą.

\(5\)

\(3\sqrt{2}\)

\(5\sqrt{2}\)

\(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Podstawa jest prostokątem, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{3^2+4^2}=5\]

2 Wysokość graniastosłupa

Rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę ma długość \(d\). W powstałym trójkącie prostokątnym tangens kąta \(\alpha\) jest stosunkiem wysokości do \(d\).

\[\tan 45^\circ=\frac{h}{d}=\frac{h}{5},\quad 1=\frac{h}{5},\quad h=5\]

Odpowiedź

Wysokość graniastosłupa wynosi 5. Odpowiedź A.

\[h=5\]

Sprawdzenie

Dla wysokości 5 stosunek wysokości do przekątnej podstawy wynosi 1, więc kąt przekątnej graniastosłupa z podstawą ma 45°.

\[\tan\alpha=\frac{5}{\sqrt{3^2+4^2}}=1=\tan45^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa \(r\) i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

Objętość tej bryły jest równa

Półkula umieszczona na walcu; promienie i wysokość walca oznaczono literą r.

\(\frac{5}{3}\pi r^3\)

\(\frac{4}{3}\pi r^3\)

\(\frac{2}{3}\pi r^3\)

\(\frac{1}{3}\pi r^3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Objętość walca

Promień podstawy i wysokość walca są równe \(r\), więc korzystamy ze wzoru na objętość walca.

\[V_w=\pi r^2\cdot r=\pi r^3\]

2 Objętość półkuli

Półkula ma promień \(r\), a jej objętość stanowi połowę objętości kuli.

\[V_p=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3\]

3 Objętość bryły

Bryła składa się z walca i półkuli, więc dodajemy ich objętości.

\[V=V_w+V_p=\pi r^3+\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{5}{3}\pi r^3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[V=\frac{5}{3}\pi r^3\]

Sprawdzenie

Dla \(r>0\) wynik jest większy od objętości samego walca, a składniki mają jednostkę objętości, ponieważ zawierają \(r^3\).

\[\frac{5}{3}\pi r^3-\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3=V_p\]

Zadanie 23

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

33%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W zestawie \(\underbrace{2,2,2,\ldots,2}_{m\text{ liczb}},\underbrace{4,4,4,\ldots,4}_{m\text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb (\(m\geq 1\)), w tym \(m\) liczb 2 i \(m\) liczb 4.

Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

\(2\)

\(1\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Średnia jest potrzebna do obliczenia odchylenia standardowego. W zestawie jest po tyle samo dwójek i czwórek.

\[\overline{x}=\frac{2m+4m}{2m}=3\]

2 Obliczenie odchylenia standardowego

Każda liczba różni się od średniej o 1, więc średnia kwadratów tych różnic wynosi 1. Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z tej średniej.

\[s=\sqrt{\frac{m(2-3)^2+m(4-3)^2}{2m}}=\sqrt{1}=1\]

Odpowiedź

Odchylenie standardowe wynosi 1. Odpowiedź B.

\[s=1\]

Sprawdzenie

Dla każdego m ≥ 1 suma kwadratów odchyleń wynosi 2m, czyli dokładnie tyle, ile jest liczb. Ich średnia wynosi więc 1, co potwierdza wynik.

\[\frac{m\cdot 1^2+m\cdot 1^2}{2m}=1\]

Zadanie 24

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

42%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\)?

\(402\)

\(403\)

\(203\)

\(204\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skrajnych liczb

Pierwsza liczba czterocyfrowa podzielna przez 5 to 1000. Ostatnia mniejsza od 2018 to 2015.

\[1000=5\cdot200,\qquad 2015=5\cdot403\]

2 Policzenie liczb

Kolejne liczby podzielne przez 5 różnią się o 5, więc liczymy wyrazy ciągu od 1000 do 2015, uwzględniając oba końce.

\[\frac{2015-1000}{5}+1=204\]

Odpowiedź

Są 204 takie liczby. Odpowiedź D.

\[204\]

Sprawdzenie

Mnożniki 5 mają wartości od 200 do 403 włącznie, a liczb całkowitych w tym przedziale jest 403 − 200 + 1 = 204. Następna wielokrotność, 2020, przekracza 2018.

\[403-200+1=204,\qquad 2020>2018\]

Zadanie 25

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

90%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W pudełku jest \(50\) kuponów, wśród których jest \(15\) kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe

\(\frac{15}{35}\)

\(\frac{1}{50}\)

\(\frac{15}{50}\)

\(\frac{35}{50}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba kuponów wygrywających

Odejmujemy kupony przegrywające od wszystkich kuponów.

\[50-15=35\]

2 Prawdopodobieństwo wygranej

Każdy kupon ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę kuponów wygrywających przez liczbę wszystkich kuponów.

\[P(\text{wygrana})=\frac{35}{50}=\frac{7}{10}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{35}{50}\), czyli \(\frac{7}{10}\). Odpowiedź D.

\[\frac{35}{50}=\frac{7}{10}\]

Sprawdzenie

Kupony wygrywające i przegrywające dają razem 50 kuponów, a suma prawdopodobieństw wynosi 1.

\[35+15=50,\qquad \frac{35}{50}+\frac{15}{50}=1\]

Zadanie 26

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność \(2x^2-3x>5\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przeniesienie wyrazów

Przenosimy 5 na lewą stronę, aby porównać trójmian kwadratowy z zerem.

\[2x^2-3x>5\iff 2x^2-3x-5>0\]

2 Rozkład na czynniki

Rozkład pozwala wyznaczyć miejsca zerowe trójmianu.

\[2x^2-3x-5=(2x-5)(x+1),\qquad x=-1\ \text{lub}\ x=\frac52\]

3 Wyznaczenie przedziałów

Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak.

\[(2x-5)(x+1)>0\iff x<-1\ \text{lub}\ x>\frac52\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest \((-\infty,-1)\cup(\frac52,\infty)\).

\[x\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac52,\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-2\) i \(x=3\) nierówność jest prawdziwa, a dla \(x=0\) fałszywa. W punktach \(-1\) i \(\frac52\) zachodzi równość, więc nie należą do rozwiązania.

\[2(-2)^2-3(-2)=14>5,\quad 2\cdot0^2-3\cdot0=0<5,\quad 2\cdot3^2-3\cdot3=9>5\]

Zadanie 27

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie \((x^3+125)(x^2-64)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

\[(x^3+125)(x^2-64)=0\iff x^3+125=0\ \lor\ x^2-64=0\]

2 Rozwiązanie obu równań

Korzystamy z tego, że \((-5)^3=-125\), a liczby o kwadracie równym \(64\) to \(-8\) i \(8\).

\[x^3=-125\iff x=-5;\qquad x^2=64\iff x=-8\ \lor\ x=8\]

Odpowiedź

Rozwiązania: \(x=-8\), \(x=-5\), \(x=8\).

\[x\in\{-8,-5,8\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-5\) pierwszy czynnik wynosi \(0\). Dla \(x=-8\) i \(x=8\) drugi czynnik wynosi \(0\), więc każda z tych liczb spełnia równanie.

\[(-5)^3+125=0;\qquad (-8)^2-64=0;\qquad 8^2-64=0\]

Zadanie 28

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

21%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq\frac{2}{a+b}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uwzględnienie warunków

Ponieważ a i b są dodatnie, wszystkie mianowniki są dodatnie. Możemy więc sprowadzić wyrażenia do wspólnego mianownika.

\[a>0,\quad b>0,\quad 2ab(a+b)>0\]

2 Obliczenie różnicy stron

Jeśli różnica lewej i prawej strony jest nieujemna, nierówność jest prawdziwa.

\[\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}-\frac{2}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich dodatnich a i b. Równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy a=b.

\[\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq\frac{2}{a+b}\quad\text{dla }a,b>0\]

Sprawdzenie

Licznik otrzymanej różnicy jest kwadratem, więc jest nieujemny, a mianownik jest dodatni. Dla a=b obie strony wynoszą 1/a, co potwierdza warunek równości.

\[a=b\implies\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{2}{a+b}=\frac{1}{a}\]

Zadanie 29

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

20%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy \(2\).

Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).

Dwa okręgi o środkach A i B, styczne zewnętrznie oraz styczne do obu ramion kąta prostego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Położenie środków

Środek okręgu stycznego do obu ramion kąta prostego jest oddalony od każdego ramienia o długość promienia. Przyjmując wierzchołek kąta za początek układu, otrzymujemy współrzędne środków. Z rysunku wynika, że okrąg B jest bliżej wierzchołka, więc jego promień r jest mniejszy od 2.

\[A=(2,2),\quad B=(r,r),\quad 0<r<2\]

2 Obliczenie promienia

Przy styczności zewnętrznej odległość między środkami jest sumą promieni. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy tę odległość i rozwiązujemy równanie.

\[\sqrt{(2-r)^2+(2-r)^2}=2+r\quad\Longrightarrow\quad \sqrt2(2-r)=2+r\quad\Longrightarrow\quad r=\frac{2(\sqrt2-1)}{\sqrt2+1}=6-4\sqrt2\]

3 Porównanie

Przenosimy wyrazy na odpowiednie strony. Obie strony otrzymanej nierówności są dodatnie, więc można je podnieść do kwadratu.

\[6-4\sqrt2<\sqrt2-1\quad\Longleftrightarrow\quad 7<5\sqrt2\quad\Longleftrightarrow\quad 49<50\]

Odpowiedź

Promień okręgu B wynosi \(6-4\sqrt2\), zatem jest mniejszy od \(\sqrt2-1\).

\[r_B=6-4\sqrt2<\sqrt2-1\]

Sprawdzenie

Otrzymany promień jest dodatni i mniejszy od 2, zgodnie z położeniem okręgów na rysunku. Po podstawieniu odległość między środkami jest równa sumie promieni.

\[0<6-4\sqrt2<2,\qquad \sqrt2\bigl(2-(6-4\sqrt2)\bigr)=8-4\sqrt2=2+(6-4\sqrt2)\]

Zadanie 30

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

46%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=a^x\) (gdzie \(a>0\) i \(a\neq 1\)), należy punkt \(P=(2,9)\). Oblicz \(a\) i zapisz zbiór wartości funkcji \(g\), określonej wzorem \(g(x)=f(x)-2\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie podstawy

Punkt \(P=(2,9)\) należy do wykresu, więc \(f(2)=9\). Ponieważ \(a>0\), wybieramy dodatni pierwiastek.

\[a^2=9\quad\Longrightarrow\quad a=3\]

2 Zbiór wartości funkcji g

Funkcja \(3^x\) przyjmuje wszystkie wartości dodatnie. Odjęcie 2 od każdej wartości przesuwa zbiór wartości o 2 w dół.

\[3^x\in(0,\infty)\quad\Longrightarrow\quad g(x)=3^x-2\in(-2,\infty)\]

Odpowiedź

Podstawa wynosi \(a=3\), a zbiorem wartości funkcji \(g\) jest \((-2,\infty)\).

\[a=3,\qquad W_g=(-2,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla \(a=3\) otrzymujemy \(f(2)=3^2=9\). Ponadto \(g(x)>-2\) dla każdego \(x\), a każdą wartość \(y>-2\) otrzymujemy dla \(x=\log_3(y+2)\).

\[f(2)=3^2=9,\qquad g(\log_3(y+2))=y\quad\text{dla }y>-2\]

Zadanie 31

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na sumę

Suma dwunastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa sześciokrotności sumy pierwszego i dwunastego wyrazu.

\[S_{12}=\frac{12(a_1+a_{12})}{2}=6(a_1+30)\]

2 Obliczenie pierwszego wyrazu

Podstawiamy podaną sumę i rozwiązujemy równanie.

\[162=6(a_1+30)\quad\Rightarrow\quad 27=a_1+30\quad\Rightarrow\quad a_1=-3\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz ciągu wynosi −3.

\[a_1=-3\]

Sprawdzenie

Dla pierwszego wyrazu −3 i dwunastego wyrazu 30 suma dwunastu wyrazów wynosi 162. Odpowiada im różnica ciągu równa 3.

\[\frac{12(-3+30)}{2}=162,\qquad -3+11\cdot3=30\]

Zadanie 32

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

29%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek kąta prostego

Kąt ABC ma wierzchołek w punkcie B, więc wektory BA i BC muszą być prostopadłe. Ich iloczyn skalarny jest wtedy równy zeru.

\[\overrightarrow{BA}=(-6,-2),\quad \overrightarrow{BC}=(x-10,y-5),\quad -6(x-10)-2(y-5)=0\]

2 Wyznaczenie punktu C

Upraszczamy warunek prostopadłości i podstawiamy równanie prostej, na której leży C.

\[3x+y=35,\quad y=2x+3\quad\Longrightarrow\quad 5x+3=35\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{32}{5},\ y=\frac{79}{5}\]

Odpowiedź

Punkt C ma współrzędne (32/5, 79/5).

\[C=\left(\frac{32}{5},\frac{79}{5}\right)\]

Sprawdzenie

Punkt leży na podanej prostej, a iloczyn skalarny wektorów BA i BC wynosi zero, więc kąt ABC jest prosty.

\[2\cdot\frac{32}{5}+3=\frac{79}{5},\qquad (-6)\left(-\frac{18}{5}\right)+(-2)\cdot\frac{54}{5}=0\]

Zadanie 33

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są dwa zbiory: \(A=\{100,200,300,400,500,600,700\}\) i \(B=\{10,11,12,13,14,15,16\}\). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Z każdego siedmioelementowego zbioru wybieramy jedną liczbę, więc wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne.

\[|A|\cdot|B|=7\cdot7=49\]

2 Reszty z dzielenia przez 3

Suma jest podzielna przez 3, gdy reszty składników wynoszą odpowiednio 0 i 0, 1 i 2 albo 2 i 1. W każdym zbiorze są dwie liczby o reszcie 0, trzy o reszcie 1 i dwie o reszcie 2.

\[A:\ (2,3,2),\qquad B:\ (2,3,2)\quad\text{dla reszt }(0,1,2)\]

3 Prawdopodobieństwo

Liczymy pary o pasujących resztach i dzielimy ich liczbę przez liczbę wszystkich par.

\[P=\frac{2\cdot2+3\cdot2+2\cdot3}{49}=\frac{16}{49}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 16/49.

\[\frac{16}{49}\]

Sprawdzenie

Pary o resztach (0,0), (1,2) i (2,1) dają odpowiednio 4, 6 i 6 wyników, razem 16. Liczby 16 i 49 nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, więc ułamek jest nieskracalny.

\[4+6+6=16,\qquad \operatorname{NWD}(16,49)=1\]

Zadanie 34

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt