Otwarte2 pkt
Równania i nierówności
73%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Rozwiąż nierówność \(2x^2-3x>5\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przeniesienie wyrazów
Przenosimy 5 na lewą stronę, aby porównać trójmian kwadratowy z zerem.
\[2x^2-3x>5\iff 2x^2-3x-5>0\]
2 Rozkład na czynniki
Rozkład pozwala wyznaczyć miejsca zerowe trójmianu.
\[2x^2-3x-5=(2x-5)(x+1),\qquad x=-1\ \text{lub}\ x=\frac52\]
3 Wyznaczenie przedziałów
Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak.
\[(2x-5)(x+1)>0\iff x<-1\ \text{lub}\ x>\frac52\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest \((-\infty,-1)\cup(\frac52,\infty)\).
\[x\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac52,\infty\right)\]
Sprawdzenie
Dla \(x=-2\) i \(x=3\) nierówność jest prawdziwa, a dla \(x=0\) fałszywa. W punktach \(-1\) i \(\frac52\) zachodzi równość, więc nie należą do rozwiązania.
\[2(-2)^2-3(-2)=14>5,\quad 2\cdot0^2-3\cdot0=0<5,\quad 2\cdot3^2-3\cdot3=9>5\]