Zadanie 29 — matura 2018, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

20%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy \(2\).

Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).

Dwa okręgi o środkach A i B, styczne zewnętrznie oraz styczne do obu ramion kąta prostego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Położenie środków

Środek okręgu stycznego do obu ramion kąta prostego jest oddalony od każdego ramienia o długość promienia. Przyjmując wierzchołek kąta za początek układu, otrzymujemy współrzędne środków. Z rysunku wynika, że okrąg B jest bliżej wierzchołka, więc jego promień r jest mniejszy od 2.

\[A=(2,2),\quad B=(r,r),\quad 0<r<2\]

2 Obliczenie promienia

Przy styczności zewnętrznej odległość między środkami jest sumą promieni. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy tę odległość i rozwiązujemy równanie.

\[\sqrt{(2-r)^2+(2-r)^2}=2+r\quad\Longrightarrow\quad \sqrt2(2-r)=2+r\quad\Longrightarrow\quad r=\frac{2(\sqrt2-1)}{\sqrt2+1}=6-4\sqrt2\]

3 Porównanie

Przenosimy wyrazy na odpowiednie strony. Obie strony otrzymanej nierówności są dodatnie, więc można je podnieść do kwadratu.

\[6-4\sqrt2<\sqrt2-1\quad\Longleftrightarrow\quad 7<5\sqrt2\quad\Longleftrightarrow\quad 49<50\]

Odpowiedź

Promień okręgu B wynosi \(6-4\sqrt2\), zatem jest mniejszy od \(\sqrt2-1\).

\[r_B=6-4\sqrt2<\sqrt2-1\]

Sprawdzenie

Otrzymany promień jest dodatni i mniejszy od 2, zgodnie z położeniem okręgów na rysunku. Po podstawieniu odległość między środkami jest równa sumie promieni.

\[0<6-4\sqrt2<2,\qquad \sqrt2\bigl(2-(6-4\sqrt2)\bigr)=8-4\sqrt2=2+(6-4\sqrt2)\]