Otwarte2 pkt
21%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq\frac{2}{a+b}\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Uwzględnienie warunków
Ponieważ a i b są dodatnie, wszystkie mianowniki są dodatnie. Możemy więc sprowadzić wyrażenia do wspólnego mianownika.
\[a>0,\quad b>0,\quad 2ab(a+b)>0\]
2 Obliczenie różnicy stron
Jeśli różnica lewej i prawej strony jest nieujemna, nierówność jest prawdziwa.
\[\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}-\frac{2}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}\geq 0\]
Odpowiedź
Nierówność zachodzi dla wszystkich dodatnich a i b. Równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy a=b.
\[\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq\frac{2}{a+b}\quad\text{dla }a,b>0\]
Sprawdzenie
Licznik otrzymanej różnicy jest kwadratem, więc jest nieujemny, a mianownik jest dodatni. Dla a=b obie strony wynoszą 1/a, co potwierdza warunek równości.
\[a=b\implies\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{2}{a+b}=\frac{1}{a}\]