Otwarte2 pkt
Funkcje
46%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=a^x\) (gdzie \(a>0\) i \(a\neq 1\)), należy punkt \(P=(2,9)\). Oblicz \(a\) i zapisz zbiór wartości funkcji \(g\), określonej wzorem \(g(x)=f(x)-2\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie podstawy
Punkt \(P=(2,9)\) należy do wykresu, więc \(f(2)=9\). Ponieważ \(a>0\), wybieramy dodatni pierwiastek.
\[a^2=9\quad\Longrightarrow\quad a=3\]
2 Zbiór wartości funkcji g
Funkcja \(3^x\) przyjmuje wszystkie wartości dodatnie. Odjęcie 2 od każdej wartości przesuwa zbiór wartości o 2 w dół.
\[3^x\in(0,\infty)\quad\Longrightarrow\quad g(x)=3^x-2\in(-2,\infty)\]
Odpowiedź
Podstawa wynosi \(a=3\), a zbiorem wartości funkcji \(g\) jest \((-2,\infty)\).
\[a=3,\qquad W_g=(-2,\infty)\]
Sprawdzenie
Dla \(a=3\) otrzymujemy \(f(2)=3^2=9\). Ponadto \(g(x)>-2\) dla każdego \(x\), a każdą wartość \(y>-2\) otrzymujemy dla \(x=\log_3(y+2)\).
\[f(2)=3^2=9,\qquad g(\log_3(y+2))=y\quad\text{dla }y>-2\]