Otwarte2 pkt
Ciągi
63%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie wzoru na sumę
Suma dwunastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa sześciokrotności sumy pierwszego i dwunastego wyrazu.
\[S_{12}=\frac{12(a_1+a_{12})}{2}=6(a_1+30)\]
2 Obliczenie pierwszego wyrazu
Podstawiamy podaną sumę i rozwiązujemy równanie.
\[162=6(a_1+30)\quad\Rightarrow\quad 27=a_1+30\quad\Rightarrow\quad a_1=-3\]
Odpowiedź
Pierwszy wyraz ciągu wynosi −3.
\[a_1=-3\]
Sprawdzenie
Dla pierwszego wyrazu −3 i dwunastego wyrazu 30 suma dwunastu wyrazów wynosi 162. Odpowiada im różnica ciągu równa 3.
\[\frac{12(-3+30)}{2}=162,\qquad -3+11\cdot3=30\]