Otwarte5 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej
29%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Warunek kąta prostego
Kąt ABC ma wierzchołek w punkcie B, więc wektory BA i BC muszą być prostopadłe. Ich iloczyn skalarny jest wtedy równy zeru.
\[\overrightarrow{BA}=(-6,-2),\quad \overrightarrow{BC}=(x-10,y-5),\quad -6(x-10)-2(y-5)=0\]
2 Wyznaczenie punktu C
Upraszczamy warunek prostopadłości i podstawiamy równanie prostej, na której leży C.
\[3x+y=35,\quad y=2x+3\quad\Longrightarrow\quad 5x+3=35\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{32}{5},\ y=\frac{79}{5}\]
Odpowiedź
Punkt C ma współrzędne (32/5, 79/5).
\[C=\left(\frac{32}{5},\frac{79}{5}\right)\]
Sprawdzenie
Punkt leży na podanej prostej, a iloczyn skalarny wektorów BA i BC wynosi zero, więc kąt ABC jest prosty.
\[2\cdot\frac{32}{5}+3=\frac{79}{5},\qquad (-6)\left(-\frac{18}{5}\right)+(-2)\cdot\frac{54}{5}=0\]