Zadanie 34 — matura 2018, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

34%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny z wierzchołkami oznaczonymi A, B, C, D, E, F.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pola podstawy

Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i trzy jednakowe ściany boczne. Każda ściana boczna ma pole równe polu podstawy, więc pole całkowite jest pięciokrotnością pola podstawy.

\[5P_p=45\sqrt{3},\qquad P_p=9\sqrt{3}\]

2 Obliczenie boku podstawy

Podstawa jest trójkątem równobocznym o boku \(a\), zatem korzystamy ze wzoru na jego pole.

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=36\quad\Rightarrow\quad a=6\]

3 Obliczenie wysokości i objętości

Ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a\) i \(h\). Z równości pól wyznaczamy wysokość, a następnie mnożymy pole podstawy przez wysokość.

\[ah=P_p\quad\Rightarrow\quad h=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2},\qquad V=P_ph=9\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{81}{2}\]

Odpowiedź

Objętość graniastosłupa wynosi \(\frac{81}{2}\).

\[V=\frac{81}{2}\]

Sprawdzenie

Pole jednej ściany bocznej wynosi \(6\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\), tyle samo co pole podstawy. Pole całkowite wynosi więc \(2\cdot9\sqrt{3}+3\cdot9\sqrt{3}=45\sqrt{3}\), zgodnie z treścią.

\[P_b=9\sqrt{3}=P_p,\qquad P_c=5\cdot9\sqrt{3}=45\sqrt{3}\]