Zamknięte1 pkt
Planimetria
78%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek \(\alpha+\beta=111^\circ\). Wynika stąd, że
A
\(\alpha=74^\circ\)
B
\(\alpha=76^\circ\)
C
\(\alpha=70^\circ\)
D
\(\alpha=72^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie twierdzenia o kątach
Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku KL, więc kąt środkowy ma miarę dwa razy większą.
\[\alpha=2\beta\]
2 Obliczenie miar kątów
Podstawiamy tę zależność do podanej sumy miar kątów.
\[2\beta+\beta=111^\circ\quad\Rightarrow\quad\beta=37^\circ\quad\Rightarrow\quad\alpha=74^\circ\]
Odpowiedź
Odpowiedź A: α = 74°.
\[\boxed{\alpha=74^\circ\;\text{(A)}}\]
Sprawdzenie
Kąt środkowy 74° jest dwa razy większy od kąta wpisanego 37°, a ich suma wynosi 111°.
\[74^\circ=2\cdot37^\circ,\qquad 74^\circ+37^\circ=111^\circ\]