Zamknięte1 pkt
Ciągi
63%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}\), \(a_2=2\sqrt{2}\), \(a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać
A
\(a_n=(\sqrt{2})^n\)
B
\(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)
C
\(a_n=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\)
D
\(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie ilorazu
W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały.
\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\]
2 Wyznaczenie wzoru
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i przekształcamy go do postaci podanej w odpowiedziach.
\[a_n=a_1q^{n-1}=\sqrt{2}\cdot 2^{n-1}=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\]
Odpowiedź
Odpowiedź B.
\[a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\]
Sprawdzenie
Dla n równego 1, 2 i 3 wzór daje odpowiednio trzy wyrazy podane w treści; obowiązuje dla n co najmniej 1.
\[a_1=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\quad a_2=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2},\quad a_3=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\]