Zamknięte1 pkt
Trygonometria
70%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy
A
\(\frac{1}{2}\)
B
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisz tangens przez sinus i cosinus
Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni, więc można użyć wzoru na tangens.
\[\sqrt{3}\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha\]
2 Wyznacz cosinus
Kąt jest ostry, zatem sinus jest dodatni. Dzielimy obie strony przez \(\sin\alpha\) i przekształcamy równanie.
\[\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha}=2\quad\Longrightarrow\quad\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
Odpowiedź
Odpowiedź C.
\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
Sprawdzenie
Dla kąta ostrego o takim cosinusie sinus wynosi \(\frac{1}{2}\), a tangens \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Obie strony warunku są równe \(1\).
\[\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=1=2\cdot\frac{1}{2}=2\sin\alpha\]