Zadanie 18 — matura 2024, maj | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) zaznaczono kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg}\alpha=-3\) oraz \(90^\circ<\alpha<180^\circ\) (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ............ oraz ............ .

Układ współrzędnych z osiami x i y, siatką, zaznaczonym kątem α oraz jego ramieniem w drugiej ćwiartce.

\(\sin\alpha<0\)

\(\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\)

\(\sin\alpha\cdot\cos\alpha>0\)

\(\cos\alpha>0\)

\(\sin\alpha=-\frac{1}{3}\cos\alpha\)

\(\sin\alpha=-3\cos\alpha\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znaki funkcji

Kąt leży w II ćwiartce, więc sinus jest dodatni, a cosinus ujemny. Ich iloczyn jest zatem ujemny — pasuje odpowiedź B.

\[90^\circ<\alpha<180^\circ\ \Longrightarrow\ \sin\alpha>0,\quad\cos\alpha<0\ \Longrightarrow\ \sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\]

2 Skorzystaj z definicji tangensa

Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa. Po pomnożeniu równości przez cosinus otrzymujemy zależność z odpowiedzi F.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-3\ \Longrightarrow\ \sin\alpha=-3\cos\alpha\]

Odpowiedź

Prawidłowe odpowiedzi: B i F.

\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0,\qquad\sin\alpha=-3\cos\alpha\]

Sprawdzenie

W II ćwiartce cosinus jest ujemny, więc z zależności F sinus jest dodatni. Stąd iloczyn sinusa i cosinusa rzeczywiście jest ujemny.

\[\cos\alpha<0\ \Longrightarrow\ -3\cos\alpha>0\ \Longrightarrow\ \sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\]