Otwarte2 pkt
Ciągi
40%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).
Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie warunków
W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz to pierwszy wyraz powiększony o dwie różnice. Suma piętnastu wyrazów wynosi piętnaście razy wyraz środkowy, czyli ósmy.
\[a_1+2r=-1,\qquad 15(a_1+7r)=-165\]
2 Obliczenie różnicy
Dzielimy równanie sumy przez 15, a następnie odejmujemy od niego równanie dla trzeciego wyrazu, aby usunąć \(a_1\).
\[a_1+7r=-11,\qquad 5r=-11-(-1)=-10,\qquad r=-2\]
Odpowiedź
Różnica ciągu wynosi \(-2\).
\[r=-2\]
Sprawdzenie
Z równania dla trzeciego wyrazu otrzymujemy \(a_1=3\). Wtedy trzeci wyraz wynosi \(-1\), a suma piętnastu wyrazów wynosi \(-165\).
\[a_3=3+2(-2)=-1,\qquad S_{15}=15\bigl(3+7(-2)\bigr)=-165\]