Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2024

Poziom podstawowyMajFormuła 2023

Zobacz zadania i rozwiązania 35 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

35 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

83%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dana jest nierówność $|x-1|\geq 3$.

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Oś liczbowa z zamalowanymi punktami −2 i 4 oraz zaznaczonym odcinkiem między nimi.

Oś liczbowa z zamalowanymi punktami −2 i 4 oraz zaznaczonymi częściami na zewnątrz tych punktów.

Oś liczbowa z niezamalowanymi punktami −2 i 4 oraz zaznaczonym odcinkiem między nimi.

Oś liczbowa z niezamalowanymi punktami −2 i 4 oraz zaznaczonymi częściami na zewnątrz tych punktów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozdzielenie nierówności

Wartość bezwzględna jest co najmniej równa 3, gdy wyrażenie pod nią jest nie większe niż −3 albo nie mniejsze niż 3.

\[|x-1|\geq 3\iff x-1\leq -3\ \text{lub}\ x-1\geq 3\]

2 Wyznaczenie zbioru rozwiązań

Dodajemy 1 do obu stron każdej nierówności. Znak równości oznacza, że końce przedziałów należą do rozwiązania.

\[x\leq -2\ \text{lub}\ x\geq 4\iff x\in(-\infty,-2]\cup[4,\infty)\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B. Zaznaczono części osi na zewnątrz punktów −2 i 4 oraz oba te punkty.

\[(-\infty,-2]\cup[4,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla obu końców wartość bezwzględna wynosi 3, więc należą do zbioru. Liczba 1 leży między nimi i nie spełnia nierówności.

\[|-2-1|=3,\quad |4-1|=3,\quad |1-1|=0<3\]

Zadanie 2

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}$ jest równa

$2^{24}$

$2^{16}$

$2^{12}$

$2^8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do potęg liczby 2

Zapisujemy obie podstawy jako potęgi liczby 2, aby móc zastosować regułę mnożenia potęg o tej samej podstawie.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}=(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16}=2^{-32}\cdot2^{48}\]

2 Dodanie wykładników

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy ich wykładniki.

\[2^{-32}\cdot2^{48}=2^{-32+48}=2^{16}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{16}\]

Sprawdzenie

Można też pogrupować czynniki: iloraz 64 i 16 wynosi 4, więc otrzymujemy ten sam wynik.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}=\left(\frac{8^2}{16}\right)^8=4^8=2^{16}\]

Zadanie 3

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

56%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ liczba $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwijamy kwadraty

Rozwijamy wyrażenie, aby oddzielić wielokrotność liczby 3.

\[n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=3n^2+6n+5\]

2 Wyznaczamy resztę

Grupujemy składniki w trzykrotność liczby całkowitej i resztę.

\[3n^2+6n+5=3(n+1)^2+2\]

Odpowiedź

Dla każdego naturalnego n ≥ 1 reszta z dzielenia podanej liczby przez 3 wynosi 2.

\[n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\equiv 2\pmod{3}\]

Sprawdzenie

Liczba (n+1)² jest całkowita, więc 3(n+1)² jest podzielne przez 3. Ponieważ 0 ≤ 2 < 3, liczba 2 jest poprawną resztą.

\[0\leq 2<3\]

Zadanie 4

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_{\sqrt{3}} 9$ jest równa

$2$

$3$

$4$

$9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do tej samej podstawy

Zapisujemy podstawę i liczbę logarytmowaną jako potęgi liczby 3, aby porównać wykładniki.

\[\sqrt{3}=3^{\frac12},\qquad 9=3^2\]

2 Obliczenie logarytmu

Logarytm jest wykładnikiem, do którego trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać 9. Zatem szukana liczba x spełnia równanie $\frac{x}{2}=2$.

\[\left(3^{\frac12}\right)^x=3^2\iff\frac{x}{2}=2\iff x=4\]

Odpowiedź

C. Liczba jest równa 4.

\[\log_{\sqrt{3}}9=4\]

Sprawdzenie

Podstawa jest dodatnia i różna od 1. Ponadto jej czwarta potęga wynosi 9.

\[\sqrt{3}>0,\quad\sqrt{3}\ne1,\quad(\sqrt{3})^4=9\]

Zadanie 5

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ wartość wyrażenia $(2a+b)^2-(2a-b)^2$ jest równa wartości wyrażenia

$8a^2$

$8ab$

$-8ab$

$2b^2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Wyrażenie ma postać różnicy kwadratów, więc korzystamy ze wzoru $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

\[(2a+b)^2-(2a-b)^2=[(2a+b)-(2a-b)][(2a+b)+(2a-b)]\]

2 Uproszczenie nawiasów

Redukujemy wyrazy podobne i mnożymy otrzymane czynniki.

\[[(2a+b)-(2a-b)][(2a+b)+(2a-b)]=2b\cdot4a=8ab\]

Odpowiedź

Właściwa odpowiedź: B.

\[8ab\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów składniki z $a^2$ i $b^2$ się redukują; równość zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych $a$ i $b$.

\[(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-4ab+b^2)=8ab\]

Zadanie 6

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

$1-\frac{3}{2}x<\frac{2}{3}-x$

jest przedział

$(−\infty,−\frac{2}{3})$

$(−\infty,\frac{2}{3})$

$(−\frac{2}{3},+\infty)$

$(\frac{2}{3},+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy

Dodajemy $\frac{3}{2}x$ do obu stron i odejmujemy $\frac{2}{3}$, aby oddzielić liczby od wyrazów z $x$.

\[1-\frac{3}{2}x<\frac{2}{3}-x\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{1}{3}<\frac{1}{2}x\]

2 Wyznacz x

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{2}{3}<x\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: przedział $(\frac{2}{3},+\infty)$.

\[x\in\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla $x=1$ nierówność jest prawdziwa. Dla $x=\frac{2}{3}$ obie strony są równe 0, więc koniec przedziału nie należy do zbioru rozwiązań.

\[x=1:\;-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3},\qquad x=\frac{2}{3}:\;0=0\]

Zadanie 7

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

82%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $(-1)$.

ma dokładnie dwa rozwiązania: $(-2)$ oraz $3$.

ma dokładnie trzy rozwiązania: $(-1)$, $(-2)$ oraz $3$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.

\[(x+2)(x-3)\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq -2\ \text{oraz}\ x\neq 3\]

2 Rozwiązanie równania

Ułamek jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik jest różny od zera.

\[x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: −1. Odpowiedź B.

\[x=-1\]

Sprawdzenie

Liczba −1 należy do dziedziny. Po podstawieniu licznik wynosi 0, a mianownik −4, więc równanie jest spełnione.

\[\frac{-1+1}{(-1+2)(-1-3)}=\frac{0}{-4}=0\]

Zadanie 8

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

84%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest wielomian $W(x)=3x^3+6x^2+9x$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wielomian $W$ jest iloczynem wielomianów $F(x)=3x$ i $G(x)=x^2+2x+3$.	P	F
Liczba $(-1)$ jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wielomian na czynniki

Wyłączamy wspólny czynnik 3x, aby porównać iloczyn z pierwszym stwierdzeniem.

\[W(x)=3x(x^2+2x+3)=F(x)G(x)\]

2 Oceń pierwsze stwierdzenie

Otrzymany iloczyn jest dokładnie iloczynem podanych wielomianów, więc stwierdzenie jest prawdziwe.

\[W(x)=F(x)G(x)\]

3 Oceń drugie stwierdzenie

Podstawiamy −1 do wielomianu. Liczba jest rozwiązaniem równania tylko wtedy, gdy wartość wielomianu wynosi zero.

\[W(-1)=3(-1)((-1)^2+2(-1)+3)=-3(1-2+3)=-6\ne 0\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu czynników otrzymujemy podany wielomian. Bezpośrednie podstawienie −1 ponownie daje −6, więc nie jest to jego miejsce zerowe.

\[3x(x^2+2x+3)=3x^3+6x^2+9x,\qquad 3(-1)^3+6(-1)^2+9(-1)=-3+6-9=-6\]

Zadanie 9

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie

$x^3-2x^2-3x+6=0$

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Grupowanie wyrazów

Łączymy wyrazy tak, aby wyłączyć wspólny czynnik.

\[x^3-2x^2-3x+6=x^2(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x^2-3)\]

2 Zasada iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[(x-2)(x^2-3)=0\iff x-2=0\ \text{lub}\ x^2-3=0\]

3 Rozwiązanie równań

Pierwsze równanie daje 2, a z drugiego otrzymujemy dwa pierwiastki kwadratowe liczby 3.

\[x=2\ \text{lub}\ x^2=3\iff x=2\ \text{lub}\ x=\sqrt{3}\ \text{lub}\ x=-\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Rozwiązania równania to 2, √3 i −√3.

\[x\in\{-\sqrt{3},\sqrt{3},2\}\]

Sprawdzenie

Dla x = 2 zeruje się pierwszy czynnik, a dla x = ±√3 drugi czynnik. Każda z tych liczb spełnia więc równanie. Innych rozwiązań nie ma, ponieważ oba czynniki zostały rozwiązane.

\[(2-2)(2^2-3)=0,\qquad (\pm\sqrt{3}-2)((\pm\sqrt{3})^2-3)=0\]

Zadanie 10

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

57%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech $x$ oraz $y$ oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby $y$ drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}95x=0{,}6\cdot0{,}9y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}05x=0{,}6\cdot0{,}1y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}4\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz liczbę drzew, które pozostały

W pierwszym sadzie pozostało 95% posadzonych drzew, a w drugim 90%.

\[x_{\text{pozostałe}}=0{,}95x,\qquad y_{\text{pozostałe}}=0{,}9y\]

2 Ułóż układ równań

Łącznie posadzono 1960 drzew. Liczba drzew pozostałych w drugim sadzie stanowi 60% liczby drzew pozostałych w pierwszym.

\[\begin{cases}x+y=1960\\0{,}9y=0{,}6\cdot0{,}95x\end{cases}\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A.

\[\boxed{\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}}\]

Sprawdzenie

Z układu otrzymujemy x = 1200 i y = 760. Po roku pozostało odpowiednio 1140 i 684 drzew; 684 stanowi 60% z 1140, a 1200 + 760 = 1960.

\[0{,}95\cdot1200=1140,\quad 0{,}9\cdot760=684=0{,}6\cdot1140\]

Zadanie 11

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

71%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Układ współrzędnych z dwiema równoległymi prostymi malejącymi, osiami, grotami oraz oznaczeniami 0 i 1.

$\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{2}{3}x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=\frac{3}{2}x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x-3\\y=\frac{3}{2}x+1\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie kierunku prostych

Obie proste są równoległe i malejące, więc mają jednakowy ujemny współczynnik kierunkowy. Spośród podanych układów ten warunek spełnia tylko A.

\[a_1=a_2=-\frac{3}{2}\]

2 Sprawdzenie przecięć z osią y

Na rysunku górna prosta przecina oś y w punkcie 3, a dolna w punkcie −1. Są to wyrazy wolne równań w odpowiedzi A.

\[y=-\frac{3}{2}x+3,\qquad y=-\frac{3}{2}x-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}\]

Sprawdzenie

Dla x=0 równania dają odpowiednio y=3 i y=−1, zgodnie z rysunkiem. Jednakowe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne oznaczają dwie różne proste równoległe.

\[-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2},\qquad 3\ne-1\]

Zadanie 12

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

57%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(-2k+3)x+k-1$, gdzie $k\in\mathbb{R}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału

$(-\infty,1)$

$(-\infty,-\frac{3}{2})$

$(1,+\infty)$

$(\frac{3}{2},+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek malejącości

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik przy x jest ujemny.

\[-2k+3<0\]

2 Rozwiązanie nierówności

Po przeniesieniu 3 na prawą stronę dzielimy przez liczbę ujemną, więc zmieniamy zwrot nierówności.

\[-2k<-3\quad\Longrightarrow\quad k>\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: k należy do przedziału $(\frac{3}{2},+\infty)$.

\[k\in\left(\frac{3}{2},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla $k=\frac{3}{2}$ współczynnik przy x wynosi 0, więc funkcja jest stała. Ta wartość nie należy do wskazanego przedziału.

\[-2\cdot\frac{3}{2}+3=0\]

Zadanie 13

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcje liniowe $f$ oraz $g$, określone wzorami $f(x)=3x+6$ oraz $g(x)=ax+7$, mają to samo miejsce zerowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $g$ jest równy

$-\frac{7}{2}$

$-\frac{2}{7}$

$\frac{2}{7}$

$\frac{7}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wspólnego miejsca zerowego

Miejsce zerowe funkcji $f$ otrzymujemy, przyrównując jej wartość do zera.

\[3x+6=0\quad\Longrightarrow\quad x=-2\]

2 Obliczenie współczynnika

Funkcja $g$ ma to samo miejsce zerowe, więc podstawiamy do niej $x=-2$ i rozwiązujemy równanie.

\[g(-2)=-2a+7=0\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{7}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[a=\frac{7}{2}\]

Sprawdzenie

Dla $x=-2$ obie funkcje przyjmują wartość zero.

\[f(-2)=3\cdot(-2)+6=0,\qquad g(-2)=\frac{7}{2}\cdot(-2)+7=0\]

Zadanie 14.1

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\geq 0$ jest przedział ……………………… .

$Fragment wykresu paraboli oznaczonej $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt miejsc zerowych

Wykres przecina oś x w punktach, w których wartość funkcji wynosi zero.

\[f(-2)=0,\qquad f(4)=0\]

2 Wyznaczenie przedziału

Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc leży na osi x lub nad nią między miejscami zerowymi. Końce przedziału należą do rozwiązania, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[f(x)\geq 0\iff -2\leq x\leq 4\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −2 do 4 wraz z końcami.

\[[-2,4]\]

Sprawdzenie

Między miejscami zerowymi wykres leży nad osią x, na końcach ją przecina, a poza tym przedziałem leży pod osią x.

\[f(-2)=f(4)=0,\qquad f(0)=8>0\]

Zadanie 14.2

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, podziałką i etykietami.

$f(x)=-(x+1)^2-9$

$f(x)=-(x-1)^2+9$

$f(x)=-(x-1)^2-9$

$f(x)=-(x+1)^2+9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wierzchołka

Z wykresu odczytujemy wierzchołek $(1,9)$. Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc współczynnik przy kwadracie jest ujemny.

\[f(x)=a(x-1)^2+9,\quad a<0\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Parabola przecina oś $y$ w punkcie $(0,8)$. Podstawiamy jego współrzędne do wzoru.

\[8=a(0-1)^2+9\quad\Rightarrow\quad a=-1\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B.

\[f(x)=-(x-1)^2+9\]

Sprawdzenie

Wzór daje wierzchołek $(1,9)$, punkt przecięcia z osią $y$ równy $(0,8)$ oraz miejsca zerowe $-2$ i $4$, zgodne z wykresem.

\[f(0)=8,\qquad -(x-1)^2+9=0\ \Rightarrow\ x=-2\ \text{lub}\ x=4\]

Zadanie 14.3

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość

Wykres funkcji kwadratowej y=f(x) w układzie współrzędnych.

$f(-4)=f(6)$

$f(-4)=f(5)$

$f(-4)=f(4)$

$f(-4)=f(7)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie osi symetrii

Wierzchołek paraboli ma współrzędne (1, 9), więc osią symetrii jest prosta x=1.

\[x=1\]

2 Wyznaczenie argumentu o tej samej wartości

Punkty wykresu leżące w równej odległości od osi symetrii mają tę samą wartość funkcji. Liczba -4 leży 5 jednostek na lewo od osi, zatem odpowiada jej liczba 6.

\[1-(-4)=5,\qquad 1+5=6,\qquad f(-4)=f(6)\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A.

\[f(-4)=f(6)\]

Sprawdzenie

Średnia argumentów -4 i 6 wynosi 1, więc punkty o tych argumentach są symetryczne względem osi paraboli.

\[\frac{-4+6}{2}=1\]

Zadanie 14.4

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Funkcje

55%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcje kwadratowe $g$ oraz $h$ są określone za pomocą funkcji $f$ (zobacz rysunek na stronie 13) następująco: $g(x)=f(x+3)$, $h(x)=f(-x)$.

Na rysunkach A–F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji $g$ oraz fragment wykresu funkcji $h$.

Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji $g$ oraz $h$ przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Fragment wykresu funkcji $y=g(x)$ przedstawiono na rysunku
Fragment wykresu funkcji $y=h(x)$ przedstawiono na rysunku

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant A.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant B.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant C.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant D.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant E.

Wykres paraboli w układzie współrzędnych, wariant F.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wykresu funkcji f

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe −2 i 4 oraz punkt przecięcia z osią y równy (0,8). Dzięki temu wyznaczamy współczynnik we wzorze iloczynowym.

\[f(x)=a(x+2)(x-4),\quad 8=f(0)=a\cdot2\cdot(-4),\quad a=-1\]

2 Wyznaczenie wykresu g

Podstawienie x+3 przesuwa wykres funkcji f o 3 jednostki w lewo. Miejsca zerowe przesuwają się z −2 i 4 na −5 i 1; taki wykres jest na rysunku A.

\[g(x)=f(x+3)=-(x+5)(x-1)\]

3 Wyznaczenie wykresu h

Podstawienie −x odbija wykres funkcji f względem osi y. Miejsca zerowe −2 i 4 przechodzą odpowiednio na 2 i −4; taki wykres jest na rysunku E.

\[h(x)=f(-x)=-(-x+2)(-x-4)=-(x-2)(x+4)\]

Odpowiedź

Funkcja g — rysunek A; funkcja h — rysunek E.

\[g\colon A,\qquad h\colon E\]

Sprawdzenie

Na rysunku A parabola przecina oś y na wysokości 5, a na rysunku E na wysokości 8. Zgadza się to z obliczonymi wartościami obu funkcji.

\[g(0)=-(0+5)(0-1)=5,\qquad h(0)=-(0-2)(0+4)=8\]

Zadanie 15

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=(-1)^n\cdot(n-5)$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ są dodatnie.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwszego i trzeciego wyrazu

Podstawiamy numery wyrazów do wzoru, aby porównać ich wartości.

\[a_1=(-1)^1(1-5)=4,\qquad a_3=(-1)^3(3-5)=2\]

2 Ocena pierwszego stwierdzenia

Pierwszy wyraz jest dwa razy większy od trzeciego, ponieważ 4 jest równe 2 razy 2.

\[a_1=4=2\cdot 2=2a_3\]

3 Ocena drugiego stwierdzenia

Aby obalić stwierdzenie o wszystkich wyrazach, wystarczy wskazać jeden wyraz, który nie jest dodatni. Piąty wyraz jest równy zeru.

\[a_5=(-1)^5(5-5)=0\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Równość 4 = 2 · 2 potwierdza pierwszą odpowiedź. Ponieważ 0 nie jest liczbą dodatnią, piąty wyraz potwierdza drugą odpowiedź.

\[a_1=2a_3,\qquad a_5=0\not>0\]

Zadanie 16

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trzywyrazowy ciąg $(12,\ 6,\ 2m-1)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Ten ciąg jest

oraz

rosnący

malejący

$m=\frac{1}{2}$

$m=2$

$m=3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez ten sam iloraz.

\[q=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\]

2 Obliczenie m

Trzeci wyraz musi być równy drugiemu pomnożonemu przez iloraz.

\[2m-1=6\cdot\frac{1}{2}=3,\qquad 2m=4,\qquad m=2\]

3 Określenie monotoniczności

Po podstawieniu wartości m kolejne wyrazy są coraz mniejsze.

\[(12,6,3),\qquad 12>6>3\]

Odpowiedź

Ciąg jest malejący i m = 2. Odpowiedzi: B oraz 2.

\[\boxed{\mathrm{B},\ 2}\]

Sprawdzenie

Dla m = 2 trzeci wyraz wynosi 3, a oba ilorazy kolejnych wyrazów są równe jednej drugiej.

\[2\cdot 2-1=3,\qquad \frac{6}{12}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Zadanie 17

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

40%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $(-1)$, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $(-165)$.

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie warunków

W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz to pierwszy wyraz powiększony o dwie różnice. Suma piętnastu wyrazów wynosi piętnaście razy wyraz środkowy, czyli ósmy.

\[a_1+2r=-1,\qquad 15(a_1+7r)=-165\]

2 Obliczenie różnicy

Dzielimy równanie sumy przez 15, a następnie odejmujemy od niego równanie dla trzeciego wyrazu, aby usunąć $a_1$.

\[a_1+7r=-11,\qquad 5r=-11-(-1)=-10,\qquad r=-2\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi $-2$.

\[r=-2\]

Sprawdzenie

Z równania dla trzeciego wyrazu otrzymujemy $a_1=3$. Wtedy trzeci wyraz wynosi $-1$, a suma piętnastu wyrazów wynosi $-165$.

\[a_3=3+2(-2)=-1,\qquad S_{15}=15\bigl(3+7(-2)\bigr)=-165\]

Zadanie 18

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Trygonometria

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\operatorname{tg}\alpha=-3$ oraz $90^\circ<\alpha<180^\circ$ (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ............ oraz ............ .

Układ współrzędnych z osiami x i y, siatką, zaznaczonym kątem α oraz jego ramieniem w drugiej ćwiartce.

$\sin\alpha<0$

$\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0$

$\sin\alpha\cdot\cos\alpha>0$

$\cos\alpha>0$

$\sin\alpha=-\frac{1}{3}\cos\alpha$

$\sin\alpha=-3\cos\alpha$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znaki funkcji

Kąt leży w II ćwiartce, więc sinus jest dodatni, a cosinus ujemny. Ich iloczyn jest zatem ujemny — pasuje odpowiedź B.

\[90^\circ<\alpha<180^\circ\ \Longrightarrow\ \sin\alpha>0,\quad\cos\alpha<0\ \Longrightarrow\ \sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\]

2 Skorzystaj z definicji tangensa

Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa. Po pomnożeniu równości przez cosinus otrzymujemy zależność z odpowiedzi F.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-3\ \Longrightarrow\ \sin\alpha=-3\cos\alpha\]

Odpowiedź

Prawidłowe odpowiedzi: B i F.

\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0,\qquad\sin\alpha=-3\cos\alpha\]

Sprawdzenie

W II ćwiartce cosinus jest ujemny, więc z zależności F sinus jest dodatni. Stąd iloczyn sinusa i cosinusa rzeczywiście jest ujemny.

\[\cos\alpha<0\ \Longrightarrow\ -3\cos\alpha>0\ \Longrightarrow\ \sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\]

Zadanie 19

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ$ jest równa

$\cos 20^\circ$

$\sin 20^\circ$

$\operatorname{tg}20^\circ$

$\sin 20^\circ\cdot\cos 20^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W obu składnikach występuje sinus tego samego kąta, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ=\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta wynosi 1.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin 20^\circ\cdot 1=\sin 20^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $\sin 20^\circ$.

\[\sin 20^\circ\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu $\sin 20^\circ$ przez $\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ=1$ otrzymujemy wyjściową sumę, więc uproszczenie jest poprawne.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\sin 20^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$, $|LM|=b$ oraz $a\neq b$. Dwusieczna kąta $KML$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ takim, że $|KN|=c$, $|NL|=d$ oraz $|MN|=e$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie $KLM$ prawdziwa jest równość

Trójkąt KLM z punktem N na boku KL i dwusieczną MN. Boki KM i LM oznaczono a i b, odcinki KN i NL oznaczono c i d, a odcinek MN oznaczono e.

$a\cdot b=c\cdot d$

$a\cdot d=b\cdot c$

$a\cdot c=b\cdot d$

$a\cdot b=e\cdot e$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej

Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok w stosunku długości boków przyległych do tego kąta.

\[\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|},\qquad \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\]

2 Usunięcie mianowników

Długości boków są dodatnie, więc można pomnożyć obie strony przez $bd$.

\[\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\quad\Longrightarrow\quad bc=ad\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $a\cdot d=b\cdot c$.

\[a\cdot d=b\cdot c\]

Sprawdzenie

Równość $ad=bc$ daje $c/d=a/b$, czyli dokładnie stosunek wynikający z twierdzenia o dwusiecznej. Ponieważ $a\ne b$, otrzymujemy też $c\ne d$, zgodnie z nierównym podziałem boku $KL$.

\[ad=bc\ \Longleftrightarrow\ \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\quad(b,d>0)\]

Zadanie 21

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego równoległoboku jest równe

$12$

$12\sqrt{3}$

$6$

$6\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Pole równoległoboku o bokach $a$ i $b$ oraz kącie $\alpha$ między nimi wynosi $ab\sin\alpha$. Ponieważ $\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, podstawiamy dane.

\[P=3\cdot4\cdot\sin120^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole wynosi $6\sqrt3$. Poprawna odpowiedź: D.

\[P=6\sqrt3\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości $4$ wynosi $3\sin120^\circ=\frac{3\sqrt3}{2}$. Iloczyn podstawy i wysokości daje $6\sqrt3$, zgodnie z wynikiem.

\[4\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=6\sqrt3\]

Zadanie 22

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W trójkącie $ABC$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $ACB$ ma miarę $42^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BAS$ jest równa

Trójkąt ABC wpisany w okrąg o środku S. Przy wierzchołku C oznaczono kąt 42°. Z punktu A poprowadzono półprostą przez S, a kąt BAS zaznaczono kolorem.

$42^\circ$

$45^\circ$

$48^\circ$

$69^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt środkowy

Kąt środkowy ASB i kąt wpisany ACB są oparte na tym samym łuku AB, więc kąt środkowy jest dwa razy większy.

\[\angle ASB=2\angle ACB=2\cdot42^\circ=84^\circ\]

2 Kąt przy podstawie

Odcinki SA i SB są promieniami okręgu, zatem trójkąt ASB jest równoramienny. Jego kąty przy A i B są równe.

\[\angle BAS=\frac{180^\circ-84^\circ}{2}=48^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta BAS wynosi 48°. Odpowiedź C.

\[\angle BAS=48^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie ASB kąty 48°, 48° i 84° sumują się do 180°, a otrzymany kąt BAS jest ostry.

\[48^\circ+48^\circ+84^\circ=180^\circ\]

Zadanie 23

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

\[k:\ y=(m+1)x+7\]

\[l:\ y=-2x+7\]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa

$\left(-\frac{1}{2}\right)$

$\frac{1}{2}$

$(-3)$

$1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie warunku prostopadłości

Współczynniki kierunkowe prostych to odpowiednio $m+1$ i $-2$. Dla prostych prostopadłych ich iloczyn wynosi $-1$.

\[(m+1)\cdot(-2)=-1\]

2 Obliczenie wartości m

Dzielimy równanie przez $-2$, a następnie odejmujemy $1$.

\[m+1=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad m=-\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: $m=-\frac{1}{2}$.

\[m=-\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $\frac{1}{2}$. Iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest równy $-1$, więc proste są prostopadłe.

\[\left(-\frac{1}{2}+1\right)\cdot(-2)=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\]

Zadanie 24

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

41%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $A=(-2,6)$ oraz $B=(10,2)$. Przekątne $AC$ oraz $BD$ tego równoległoboku przecinają się w punkcie $P=(6,7)$.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu C

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc P jest środkiem odcinka AC. Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka.

\[\left(\frac{-2+x_C}{2},\frac{6+y_C}{2}\right)=(6,7)\quad\Rightarrow\quad x_C=14,\ y_C=8\]

2 Obliczenie długości BC

Stosujemy wzór na odległość punktów B=(10,2) i C=(14,8).

\[|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2}=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\]

Odpowiedź

Długość boku BC wynosi $2\sqrt{13}$.

\[|BC|=2\sqrt{13}\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AC ma współrzędne (6,7), zgodne z danym punktem P. Kwadrat obliczonej długości BC jest równy sumie kwadratów różnic współrzędnych: 52.

\[\left(\frac{-2+14}{2},\frac{6+8}{2}\right)=(6,7),\qquad (2\sqrt{13})^2=4^2+6^2=52\]

Zadanie 25.1

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $6$ (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $15\sqrt{3}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Rysunek graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego z krawędzią boczną oznaczoną liczbą 6.

$36\sqrt{10}$

$60$

$6\sqrt{10}$

$360$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boku podstawy

Podstawa składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $a$, więc jej pole wynosi $\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Podstawiamy dane i obliczamy $a$.

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=15\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=10\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}\]

2 Pole ściany bocznej

Ściana boczna jest prostokątem o bokach $a$ i $6$, zatem mnożymy ich długości.

\[P=a\cdot 6=6\sqrt{10}\]

Odpowiedź

C. Pole jednej ściany bocznej wynosi $6\sqrt{10}$.

\[6\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla boku $\sqrt{10}$ wzór na pole sześciokąta daje dokładnie podane pole podstawy.

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{10})^2=15\sqrt{3}\]

Zadanie 25.2

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowe odcinki łączą górny tylny lewy wierzchołek z dolnym przednim prawym oraz dolny lewy skrajny wierzchołek z dolnym przednim prawym. Przy dolnym przednim prawym wierzchołku zaznaczono kąt.

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowe odcinki łączą górny prawy skrajny wierzchołek z dolnym przednim lewym oraz dolny przedni lewy wierzchołek z dolnym prawym skrajnym. Przy dolnym przednim lewym wierzchołku zaznaczono kąt.

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowy odcinek łączy górny tylny lewy wierzchołek z dolnym przednim prawym. Przy dolnym przednim prawym wierzchołku zaznaczono kąt między tym odcinkiem a przednią krawędzią podstawy.

Graniastosłup sześciokątny. Fioletowe odcinki łączą górny tylny prawy wierzchołek z dolnym przednim lewym oraz dolny przedni lewy wierzchołek z dolnym tylnym prawym. Przy dolnym przednim lewym wierzchołku zaznaczono kąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór przekątnej

Najdłuższa przekątna graniastosłupa łączy wierzchołek górnej podstawy z wierzchołkiem dolnej podstawy leżącym naprzeciwko jego rzutu. Jej rzutem na podstawę jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego.

\[d_{\text{rzutu}}=2a\]

2 Wyznaczenie kąta

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny jest kątem między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Na rysunku D oba ramiona kąta są zaznaczone w ten sposób.

\[\alpha=\angle(\text{przekątna graniastosłupa},\text{jej rzut na podstawę})\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D górny koniec fioletowej przekątnej rzutuje się pionowo na dolny tylny prawy wierzchołek. Łączący go z dolnym przednim lewym wierzchołkiem fioletowy odcinek jest najdłuższą przekątną podstawy, więc zaznaczony kąt jest właściwy.

Zadanie 26

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Stereometria

23%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ostrosłup $F_1$ jest podobny do ostrosłupa $F_2$. Objętość ostrosłupa $F_1$ jest równa $64$. Objętość ostrosłupa $F_2$ jest równa $512$.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_2$ do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_1$ jest równy ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skali podobieństwa

Objętości brył podobnych są w stosunku równym sześcianowi skali podobieństwa. Dlatego skala ostrosłupa F₂ względem F₁ wynosi 2.

\[k^3=\frac{V_2}{V_1}=\frac{512}{64}=8,\qquad k=2\]

2 Obliczenie stosunku pól

Pola powierzchni brył podobnych są w stosunku równym kwadratowi skali podobieństwa.

\[\frac{P_2}{P_1}=k^2=2^2=4\]

Odpowiedź

W wykropkowanym miejscu należy wpisać 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Skala 2 daje stosunek objętości 8, zgodny z danymi, oraz stosunek pól 4.

\[2^3=8=\frac{512}{64},\qquad 2^2=4\]

Zadanie 27

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr $1$, $3$, $6$, $8$, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

$4$

$10$

$24$

$16$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr na kolejne miejsca

Każda cyfra występuje dokładnie raz, więc po każdym wyborze zostaje o jedną cyfrę mniej.

\[4\cdot3\cdot2\cdot1=24\]

Odpowiedź

Istnieją 24 takie kody. Odpowiedź C.

\[24\]

Sprawdzenie

Każda z 4 cyfr może być pierwsza. Po jej ustaleniu pozostałe 3 cyfry można ustawić na 6 sposobów, co potwierdza wynik.

\[4\cdot(3\cdot2\cdot1)=4\cdot6=24\]

Zadanie 28

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a$, $b$, $c$, jest równa $9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: $a$, $a$, $b$, $b$, $c$, $c$, jest równa

$9$

$6$

$4{,}5$

$18$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Suma trzech liczb

Średnia to suma liczb podzielona przez ich liczbę, więc mnożymy daną równość przez 3.

\[\frac{a+b+c}{3}=9\quad\Rightarrow\quad a+b+c=27\]

2 Średnia sześciu liczb

Każda z trzech liczb występuje dwa razy, zatem suma sześciu liczb jest dwa razy większa.

\[\frac{a+a+b+b+c+c}{6}=\frac{2(a+b+c)}{6}=\frac{2\cdot27}{6}=9\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: średnia wynosi 9.

\[9\]

Sprawdzenie

Sześć podanych liczb ma sumę 54, a 54 podzielone przez 6 daje 9.

\[a+a+b+b+c+c=2\cdot27=54,\qquad \frac{54}{6}=9\]

Zadanie 29

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Diagram słupkowy. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 8. Liczby uczniów dla kolejnych ocen: 1 – 2, 2 – 7, 3 – 4, 4 – 3, 5 – 6, 6 – 4.

$4{,}5$

$4$

$3{,}5$

$3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba uczniów

Dodajemy liczby uczniów odczytane z diagramu, aby ustalić pozycje środkowych ocen.

\[2+7+4+3+6+4=26\]

2 Środkowe oceny

Przy 26 wynikach mediana jest średnią ocen na pozycjach 13. i 14. Po uporządkowaniu wyników ocena 3 zajmuje pozycje od 10. do 13., a ocena 4 — od 14. do 16.

\[\frac{26}{2}=13,\qquad \frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 3,5. Odpowiedź C.

\[3{,}5\]

Sprawdzenie

Liczności skumulowane dla ocen od 1 do 6 wynoszą kolejno 2, 9, 13, 16, 22, 26. Potwierdza to, że środkowe wyniki to 3 i 4.

\[\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Zadanie 30

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest pięcioelementowy zbiór $K = \{5, 6, 7, 8, 9\}$. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru $K$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wszystkie wyniki

Losujemy dwukrotnie ze zwracaniem, więc za każdym razem mamy 5 możliwości. Kolejność losowania ma znaczenie.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Policz wyniki sprzyjające

Suma jest parzysta, gdy obie liczby są parzyste albo obie są nieparzyste. W zbiorze są 2 liczby parzyste i 3 nieparzyste.

\[|A|=2\cdot2+3\cdot3=4+9=13\]

3 Oblicz prawdopodobieństwo

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{13}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo otrzymania parzystej sumy wynosi 13/25.

\[P(A)=\frac{13}{25}\]

Sprawdzenie

Nieparzystą sumę dają pary liczb o różnej parzystości: jest ich 2·3+3·2=12. Razem z 13 parami o parzystej sumie daje to wszystkie 25 wyników.

\[13+(2\cdot3+3\cdot2)=25\]

Zadanie 31

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

35%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć $36$ metrów bieżących siatki.

Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Schemat trzech sąsiadujących prostokątnych wybiegów. Wspólną wysokość oznaczono x, a szerokość każdego wybiegu y. Linia przerywana oznacza siatkę, także na dwóch ścianach wewnętrznych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość siatki

Siatka tworzy cztery odcinki długości x (dwa zewnętrzne i dwa wewnętrzne) oraz sześć odcinków długości y.

\[4x+6y=36,\qquad x=9-\frac{3}{2}y,\qquad 0<y<6\]

2 Pole trzech wybiegów

Każdy wybieg ma pole xy. Po podstawieniu zależności między wymiarami otrzymujemy funkcję kwadratową.

\[P(y)=3xy=3y\left(9-\frac{3}{2}y\right)=27y-\frac{9}{2}y^2\]

3 Największe pole

Po sprowadzeniu funkcji do postaci kanonicznej widać, że jej największa wartość występuje dla y=3 m. Z równania na długość siatki obliczamy x.

\[P(y)=-\frac{9}{2}(y-3)^2+\frac{81}{2},\qquad y=3\ \mathrm{m},\qquad x=9-\frac{3}{2}\cdot3=\frac{9}{2}\ \mathrm{m}\]

Odpowiedź

Wymiary jednego wybiegu to x = 4,5 m oraz y = 3 m.

\[x=\frac{9}{2}\ \mathrm{m},\qquad y=3\ \mathrm{m}\]

Sprawdzenie

Dla tych wymiarów zużycie siatki wynosi 36 m. Ponieważ od kwadratu odejmowana jest liczba nieujemna, pole trzech wybiegów nie przekracza 40,5 m²; dla y = 3 m osiąga tę wartość.

\[4\cdot\frac{9}{2}+6\cdot3=36\ \mathrm{m},\qquad P(y)=\frac{81}{2}-\frac{9}{2}(y-3)^2\leq\frac{81}{2}\ \mathrm{m}^2\]

Wielomian \(W\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=3x\) i \(G(x)=x^2+2x+3\).	P	F
Liczba \((-1)\) jest rozwiązaniem równania \(W(x)=0\).	P	F

Fragment wykresu funkcji \(y=g(x)\) przedstawiono na rysunku
Fragment wykresu funkcji \(y=h(x)\) przedstawiono na rysunku

Pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są dodatnie.	P	F