Otwarte2 pkt
Liczby rzeczywiste
56%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \(n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Rozwijamy kwadraty
Rozwijamy wyrażenie, aby oddzielić wielokrotność liczby 3.
\[n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=3n^2+6n+5\]
2 Wyznaczamy resztę
Grupujemy składniki w trzykrotność liczby całkowitej i resztę.
\[3n^2+6n+5=3(n+1)^2+2\]
Odpowiedź
Dla każdego naturalnego n ≥ 1 reszta z dzielenia podanej liczby przez 3 wynosi 2.
\[n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\equiv 2\pmod{3}\]
Sprawdzenie
Liczba (n+1)² jest całkowita, więc 3(n+1)² jest podzielne przez 3. Ponieważ 0 ≤ 2 < 3, liczba 2 jest poprawną resztą.
\[0\leq 2<3\]