Otwarte2 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej
41%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(10,2)\). Przekątne \(AC\) oraz \(BD\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \(P=(6,7)\).
Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie punktu C
Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc P jest środkiem odcinka AC. Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka.
\[\left(\frac{-2+x_C}{2},\frac{6+y_C}{2}\right)=(6,7)\quad\Rightarrow\quad x_C=14,\ y_C=8\]
2 Obliczenie długości BC
Stosujemy wzór na odległość punktów B=(10,2) i C=(14,8).
\[|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2}=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\]
Odpowiedź
Długość boku BC wynosi \(2\sqrt{13}\).
\[|BC|=2\sqrt{13}\]
Sprawdzenie
Środek odcinka AC ma współrzędne (6,7), zgodne z danym punktem P. Kwadrat obliczonej długości BC jest równy sumie kwadratów różnic współrzędnych: 52.
\[\left(\frac{-2+14}{2},\frac{6+8}{2}\right)=(6,7),\qquad (2\sqrt{13})^2=4^2+6^2=52\]