Otwarte3 pkt
Równania i nierówności
79%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Rozwiąż równanie
\(x^3-2x^2-3x+6=0\)
Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Grupowanie wyrazów
Łączymy wyrazy tak, aby wyłączyć wspólny czynnik.
\[x^3-2x^2-3x+6=x^2(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x^2-3)\]
2 Zasada iloczynu zerowego
Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.
\[(x-2)(x^2-3)=0\iff x-2=0\ \text{lub}\ x^2-3=0\]
3 Rozwiązanie równań
Pierwsze równanie daje 2, a z drugiego otrzymujemy dwa pierwiastki kwadratowe liczby 3.
\[x=2\ \text{lub}\ x^2=3\iff x=2\ \text{lub}\ x=\sqrt{3}\ \text{lub}\ x=-\sqrt{3}\]
Odpowiedź
Rozwiązania równania to 2, √3 i −√3.
\[x\in\{-\sqrt{3},\sqrt{3},2\}\]
Sprawdzenie
Dla x = 2 zeruje się pierwszy czynnik, a dla x = ±√3 drugi czynnik. Każda z tych liczb spełnia więc równanie. Innych rozwiązań nie ma, ponieważ oba czynniki zostały rozwiązane.
\[(2-2)(2^2-3)=0,\qquad (\pm\sqrt{3}-2)((\pm\sqrt{3})^2-3)=0\]