Zamknięte1 pkt
Planimetria
70%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\), \(|LM|=b\) oraz \(a\neq b\). Dwusieczna kąta \(KML\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) takim, że \(|KN|=c\), \(|NL|=d\) oraz \(|MN|=e\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W trójkącie \(KLM\) prawdziwa jest równość
A
\(a\cdot b=c\cdot d\)
B
\(a\cdot d=b\cdot c\)
C
\(a\cdot c=b\cdot d\)
D
\(a\cdot b=e\cdot e\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej
Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok w stosunku długości boków przyległych do tego kąta.
\[\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|},\qquad \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\]
2 Usunięcie mianowników
Długości boków są dodatnie, więc można pomnożyć obie strony przez \(bd\).
\[\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\quad\Longrightarrow\quad bc=ad\]
Odpowiedź
Odpowiedź B: \(a\cdot d=b\cdot c\).
\[a\cdot d=b\cdot c\]
Sprawdzenie
Równość \(ad=bc\) daje \(c/d=a/b\), czyli dokładnie stosunek wynikający z twierdzenia o dwusiecznej. Ponieważ \(a\ne b\), otrzymujemy też \(c\ne d\), zgodnie z nierównym podziałem boku \(KL\).
\[ad=bc\ \Longleftrightarrow\ \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\quad(b,d>0)\]