Zamknięte1 pkt
Ciągi
77%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot(n-5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu. | P | F |
| Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są dodatnie. | P | F |
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie pierwszego i trzeciego wyrazu
Podstawiamy numery wyrazów do wzoru, aby porównać ich wartości.
\[a_1=(-1)^1(1-5)=4,\qquad a_3=(-1)^3(3-5)=2\]
2 Ocena pierwszego stwierdzenia
Pierwszy wyraz jest dwa razy większy od trzeciego, ponieważ 4 jest równe 2 razy 2.
\[a_1=4=2\cdot 2=2a_3\]
3 Ocena drugiego stwierdzenia
Aby obalić stwierdzenie o wszystkich wyrazach, wystarczy wskazać jeden wyraz, który nie jest dodatni. Piąty wyraz jest równy zeru.
\[a_5=(-1)^5(5-5)=0\]
Odpowiedź
Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.
\[\mathrm{P},\ \mathrm{F}\]
Sprawdzenie
Równość 4 = 2 · 2 potwierdza pierwszą odpowiedź. Ponieważ 0 nie jest liczbą dodatnią, piąty wyraz potwierdza drugą odpowiedź.
\[a_1=2a_3,\qquad a_5=0\not>0\]