Zadanie 31 — matura 2024, maj | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

35%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \(36\) metrów bieżących siatki.

Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Schemat trzech sąsiadujących prostokątnych wybiegów. Wspólną wysokość oznaczono x, a szerokość każdego wybiegu y. Linia przerywana oznacza siatkę, także na dwóch ścianach wewnętrznych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość siatki

Siatka tworzy cztery odcinki długości x (dwa zewnętrzne i dwa wewnętrzne) oraz sześć odcinków długości y.

\[4x+6y=36,\qquad x=9-\frac{3}{2}y,\qquad 0<y<6\]

2 Pole trzech wybiegów

Każdy wybieg ma pole xy. Po podstawieniu zależności między wymiarami otrzymujemy funkcję kwadratową.

\[P(y)=3xy=3y\left(9-\frac{3}{2}y\right)=27y-\frac{9}{2}y^2\]

3 Największe pole

Po sprowadzeniu funkcji do postaci kanonicznej widać, że jej największa wartość występuje dla y=3 m. Z równania na długość siatki obliczamy x.

\[P(y)=-\frac{9}{2}(y-3)^2+\frac{81}{2},\qquad y=3\ \mathrm{m},\qquad x=9-\frac{3}{2}\cdot3=\frac{9}{2}\ \mathrm{m}\]

Odpowiedź

Wymiary jednego wybiegu to x = 4,5 m oraz y = 3 m.

\[x=\frac{9}{2}\ \mathrm{m},\qquad y=3\ \mathrm{m}\]

Sprawdzenie

Dla tych wymiarów zużycie siatki wynosi 36 m. Ponieważ od kwadratu odejmowana jest liczba nieujemna, pole trzech wybiegów nie przekracza 40,5 m²; dla y = 3 m osiąga tę wartość.

\[4\cdot\frac{9}{2}+6\cdot3=36\ \mathrm{m},\qquad P(y)=\frac{81}{2}-\frac{9}{2}(y-3)^2\leq\frac{81}{2}\ \mathrm{m}^2\]