Zamknięte1 pkt
Stereometria
63%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(15\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A
\(15\sqrt{2}\)
B
\(45\)
C
\(5\sqrt{2}\)
D
\(10\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Rzut przekątnej
Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu o boku 15. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jej długość.
\[p=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2}\]
2 Długość przekątnej graniastosłupa
Cosinus kąta nachylenia prostej do płaszczyzny jest stosunkiem długości rzutu do długości tej prostej. Stąd obliczamy przekątną d.
\[\frac{p}{d}=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3},\qquad d=\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{2}/3}=45\]
Odpowiedź
Długość przekątnej wynosi 45. Odpowiedź B.
\[d=45\]
Sprawdzenie
Dla otrzymanej długości stosunek przekątnej podstawy do przekątnej graniastosłupa jest równy podanemu cosinusowi kąta.
\[\frac{15\sqrt{2}}{45}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]