Zadanie 26 — matura 2023, maj | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\) i ma długość równą \(6\) (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczoną wysokością ściany bocznej długości 6 i kątem 30° między tą wysokością a płaszczyzną podstawy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wysokość ostrosłupa

Rzut wysokości ściany bocznej na podstawę biegnie od środka kwadratu do środka jego boku. Tworzy z wysokością ostrosłupa trójkąt prostokątny, więc korzystamy z sinusa kąta nachylenia.

\[H=6\sin 30^\circ=6\cdot\frac12=3\]

2 Bok podstawy

Długość rzutu wynosi połowę boku kwadratu. Obliczamy ją z cosinusa kąta nachylenia.

\[\frac a2=6\cos 30^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3,\qquad a=6\sqrt3\]

3 Objętość

Podstawa jest kwadratem, więc jej pole wynosi \(a^2\). Stosujemy wzór na objętość ostrosłupa.

\[P_p=(6\sqrt3)^2=108,\qquad V=\frac13P_pH=\frac13\cdot108\cdot3=108\]

4 Pole powierzchni całkowitej

Cztery ściany boczne są jednakowymi trójkątami o podstawie \(a\) i wysokości \(6\). Dodajemy ich pola do pola podstawy.

\[P_c=P_p+4\cdot\frac{a\cdot6}{2}=108+4\cdot\frac{6\sqrt3\cdot6}{2}=108+72\sqrt3\]

Odpowiedź

Objętość wynosi 108 jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi \(108+72\sqrt3\) jednostek kwadratowych.

\[V=108,\qquad P_c=108+72\sqrt3\]

Sprawdzenie

Obliczona wysokość i połowa boku podstawy tworzą z wysokością ściany bocznej trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 6. Obie długości są dodatnie.

\[3^2+(3\sqrt3)^2=9+27=36=6^2\]