Matematyka — matura 2023

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

Oś liczbowa z zaznaczonymi dwoma przedziałami, punktami −2 i 5 oraz oznaczeniem x.

$\lvert x-3{,}5\rvert\geq 1{,}5$

$\lvert x-1{,}5\rvert\geq 3{,}5$

$\lvert x-3{,}5\rvert\leq 1{,}5$

$\lvert x-1{,}5\rvert\leq 3{,}5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie zbioru

Zamalowane punkty należą do zbioru, a zaznaczone są liczby na lewo od −2 i na prawo od 5.

\[x\in(-\infty,-2]\cup[5,\infty)\]

2 Zapis za pomocą wartości bezwzględnej

Środek między −2 a 5 to 1,5, a odległość każdego końca od środka wynosi 3,5. Szukamy liczb oddalonych od środka o co najmniej 3,5.

\[\frac{-2+5}{2}=1{,}5,\qquad 5-1{,}5=3{,}5,\qquad |x-1{,}5|\geq 3{,}5\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[|x-1{,}5|\geq 3{,}5\]

Sprawdzenie

Rozwiązanie wybranej nierówności daje dokładnie oba zaznaczone przedziały, wraz z końcami.

\[|x-1{,}5|\geq 3{,}5\iff x-1{,}5\leq-3{,}5\ \text{lub}\ x-1{,}5\geq3{,}5\iff x\leq-2\ \text{lub}\ x\geq5\]

Zadanie 2

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

83%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}$ jest równa

$\left(-\frac{3}{2}\right)$

$\frac{3}{2}$

$\frac{2}{3}$

$\left(-\frac{2}{3}\right)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz pierwiastki

Pierwiastki sześcienne można pomnożyć, mnożąc liczby pod pierwiastkami.

\[\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot 2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}\]

2 Oblicz pierwiastek

Licznik i mianownik są sześcianami liczb całkowitych.

\[\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=\sqrt[3]{\left(-\frac{3}{2}\right)^3}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Sześcian otrzymanej liczby jest równy iloczynowi liczb pod pierwiastkami.

\[\left(-\frac{3}{2}\right)^3=-\frac{27}{8}=-\frac{27}{16}\cdot 2\]

Zadanie 3

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

43%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ liczba $(2n+1)^2-1$ jest podzielna przez $8$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wyrażenie na czynniki

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby otrzymać iloczyn kolejnych liczb naturalnych.

\[(2n+1)^2-1=(2n+1-1)(2n+1+1)=4n(n+1)\]

2 Wykaż podzielność przez 8

Spośród dwóch kolejnych liczb $n$ i $n+1$ jedna jest parzysta, więc ich iloczyn jest podzielny przez $2$. Po pomnożeniu przez $4$ otrzymujemy wielokrotność $8$.

\[n(n+1)=2k\quad\text{dla pewnego }k\in\mathbb{N},\qquad 4n(n+1)=8k\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ podana liczba jest podzielna przez $8$.

\[8\mid\bigl((2n+1)^2-1\bigr)\]

Sprawdzenie

Dla najmniejszej dopuszczalnej wartości $n=1$ otrzymujemy $8$, zgodnie z wykazaną podzielnością.

\[(2\cdot1+1)^2-1=9-1=8\]

Zadanie 4

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

89%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_{9}27+\log_{9}3$ jest równa

$81$

$9$

$4$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Logarytmy mają tę samą podstawę, więc ich sumę zapisujemy jako logarytm iloczynu argumentów.

\[\log_{9}27+\log_{9}3=\log_{9}(27\cdot3)=\log_{9}81\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ 81 jest kwadratem liczby 9, logarytm jest równy 2.

\[81=9^2\quad\Rightarrow\quad\log_{9}81=2\]

Odpowiedź

Wynik to 2, odpowiedź D.

\[\boxed{2\text{ — D}}\]

Sprawdzenie

Podstawa 9 jest dodatnia i różna od 1, a argumenty 27 i 3 są dodatnie. Ponadto 9 do potęgi 2 daje 81, czyli iloczyn argumentów.

\[9^2=81=27\cdot3\]

Zadanie 5

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wyrażenie $(2a-3)^2-(2a+3)^2$ jest równe

$-24a$

$0$

$18$

$16a^2-24a$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Różnicę kwadratów zamieniamy na iloczyn, aby uprościć wyrażenie.

\[(2a-3)^2-(2a+3)^2=((2a-3)-(2a+3))((2a-3)+(2a+3))\]

2 Uproszczenie iloczynu

Redukujemy wyrazy podobne w obu nawiasach i mnożymy.

\[(-6)\cdot 4a=-24a\]

Odpowiedź

Wyrażenie jest równe −24a. Odpowiedź A.

\[-24a\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów wyrazy z kwadratem a i wyrazy stałe się redukują, więc wynik jest taki sam dla każdego rzeczywistego a.

\[(4a^2-12a+9)-(4a^2+12a+9)=-24a\]

Zadanie 6

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-2(x+3)\leq\frac{2-x}{3}$ jest przedział

$( -\infty,-4]$

$( -\infty,4]$

$[-4,\infty)$

$[4,\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 3, więc kierunek nierówności się nie zmienia.

\[-6(x+3)\leq 2-x\quad\Longrightarrow\quad -6x-18\leq 2-x\]

2 Wyznacz x

Przenosimy wyrazy, a następnie dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniając kierunek nierówności.

\[-5x\leq 20\quad\Longrightarrow\quad x\geq -4\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −4 włącznie do nieskończoności. Odpowiedź C.

\[[-4,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x = −4 obie strony nierówności są równe 2, więc koniec przedziału należy do zbioru rozwiązań. Dla x = −5 nierówność jest fałszywa.

\[x=-4:\quad -2(-4+3)=2=\frac{2-(-4)}{3};\qquad x=-5:\quad 4>\frac{7}{3}\]

Zadanie 7

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

83%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jednym z rozwiązań równania $\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0$ jest liczba

$3$

$2$

$\sqrt{3}$

$\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Ponieważ $\sqrt{3}\neq 0$, iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się jeden z pozostałych czynników.

\[x^2-2=0\quad\text{lub}\quad x+3=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań

Rozwiązujemy oba równania i porównujemy wyniki z odpowiedziami.

\[x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2},\qquad x+3=0\Rightarrow x=-3\]

Odpowiedź

Liczba $\sqrt{2}$, odpowiedź D.

\[x=\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu $x=\sqrt{2}$ czynnik $x^2-2$ jest równy zeru, więc całe równanie jest spełnione.

\[\sqrt{3}\bigl((\sqrt{2})^2-2\bigr)(\sqrt{2}+3)=\sqrt{3}(2-2)(\sqrt{2}+3)=0\]

Zadanie 8

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $-1$.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $1$.

ma dokładnie dwa rozwiązania: $-1$ oraz $1$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy obie liczby zerujące jego czynniki.

\[(x-1)(x+1)^2\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 1\ \text{i}\ x\ne -1\]

2 Sprawdzenie warunku równości zeru

Ułamek jest równy zeru tylko wtedy, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera. Oba miejsca zerowe licznika są wykluczone z dziedziny.

\[(x+1)(x-1)^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Równanie nie ma rozwiązania. Odpowiedź A.

\[\varnothing\]

Sprawdzenie

Dla x = −1 oraz x = 1 mianownik jest równy zeru, więc żadna z tych liczb nie spełnia równania. Dla pozostałych liczb licznik jest różny od zera.

\[x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\quad\Longrightarrow\quad (x+1)(x-1)^2\ne 0\]

Zadanie 9

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie

$3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0$

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Grupowanie wyrazów

Wyłączamy wspólne czynniki, aby otrzymać ten sam nawias w obu grupach.

\[3x^3-2x^2-12x+8=x^2(3x-2)-4(3x-2)=(3x-2)(x^2-4)\]

2 Rozkład i rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, a następnie z zasady, że iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zeru.

\[(3x-2)(x-2)(x+2)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 3x-2=0\ \lor\ x-2=0\ \lor\ x+2=0\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami są −2, 2/3 i 2.

\[x\in\left\{-2,\frac{2}{3},2\right\}\]

Sprawdzenie

Każda z podanych liczb zeruje jeden z czynników iloczynu, więc spełnia równanie. Rozkład obejmuje wszystkie czynniki wielomianu, zatem innych rozwiązań nie ma.

\[(3x-2)(x-2)(x+2)=0\]

Zadanie 10

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ jednego z niżej zapisanych układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

$Układ współrzędnych z dwiema prostymi przecinającymi się w punkcie $(1,1)$.$

$\begin{cases}y=-x+2\\y=-2x+1\end{cases}$

$\begin{cases}y=x-2\\y=-2x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=x-2\\y=2x+1\end{cases}$

$\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-1\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej malejącej

Z wykresu odczytujemy punkty $(0,2)$ i $(2,0)$. Zmiana wartości $y$ o $-2$ przy zmianie $x$ o $2$ daje współczynnik kierunkowy $-1$.

\[a=\frac{0-2}{2-0}=-1,\qquad y=-x+2\]

2 Wyznaczenie równania prostej rosnącej

Prosta przechodzi przez punkty $(0,-1)$ i $(1,1)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi $2$.

\[a=\frac{1-(-1)}{1-0}=2,\qquad y=2x-1\]

3 Wybór układu

Oba odczytane równania występują razem w odpowiedzi D.

\[\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-1\end{cases}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Dla x=1 oba równania dają y=1, zgodnie z punktem przecięcia prostych na rysunku.

\[-1+2=1,\qquad 2\cdot1-1=1\]

Zadanie 11

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Układy równań

91%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest prostokąt o bokach długości $a$ i $b$, gdzie $a>b$. Obwód tego prostokąta jest równy $30$. Jeden z boków prostokąta jest o $5$ krótszy od drugiego.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami ……… oraz ……… .

$\begin{cases}2ab=30\\a-b=5\end{cases}$

$\begin{cases}2a+b=30\\a=5b\end{cases}$

$\begin{cases}2(a+b)=30\\b=a-5\end{cases}$

$\begin{cases}2a+2b=30\\b=5a\end{cases}$

$\begin{cases}2a+2b=30\\a-b=5\end{cases}$

$\begin{cases}a+b=30\\a=b+5\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz obwód

Obwód prostokąta jest sumą długości jego czterech boków, więc jest równy 30.

\[2(a+b)=2a+2b=30\]

2 Zapisz różnicę boków

Ponieważ a>b, krótszy bok b ma długość a−5. Równoważnie różnica boków wynosi 5.

\[b=a-5\quad\Longleftrightarrow\quad a-b=5\]

3 Wybierz układy

Obie równoważne postacie równania obwodu i różnicy boków występują w odpowiedziach C oraz E.

\[\begin{cases}2(a+b)=30\\b=a-5\end{cases}\qquad\begin{cases}2a+2b=30\\a-b=5\end{cases}\]

Odpowiedź

Właściwe odpowiedzi: C i E.

\[\boxed{\mathrm{C},\ \mathrm{E}}\]

Sprawdzenie

Z obu układów wynika a=10 i b=5. Boki są dodatnie, a>b, ich obwód wynosi 30, a różnica 5.

\[a+b=15,\quad a-b=5\quad\Longrightarrow\quad a=10,\ b=5;\qquad 2(10+5)=30,\quad 10-5=5\]

Zadanie 12.1

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

91%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

$[-6,5]$

$(-6,5)$

$(-3,5]$

$[-3,5]$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt przedziałów

Dziedzinę tworzą wszystkie współrzędne x punktów wykresu. Pełne kółko oznacza, że dana wartość x należy do dziedziny.

\[[-6,-3)\cup[-3,1]\cup(1,5]\]

2 Połączenie przedziałów

Wartość x=-3 należy do drugiego odcinka, a x=1 także należy do wykresu. Między końcami nie ma więc przerw.

\[[-6,-3)\cup[-3,1]\cup(1,5]=[-6,5]\]

Odpowiedź

A. Dziedziną funkcji jest przedział od −6 do 5 z oboma końcami.

\[D_f=[-6,5]\]

Sprawdzenie

Na wykresie są punkty dla x=−6 i x=5. Przy x=−3 oraz x=1 puste kółka nie tworzą luk, ponieważ dla obu tych wartości zaznaczono również pełne punkty.

\[-6,-3,1,5\in D_f\]

Zadanie 12.2

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $[-4,1]$ jest równa

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, wspólny dla podzadań 12.1–12.3.

$0$

$1$

$2$

$5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości z wykresu

W przedziale od −4 do −3 funkcja przyjmuje wartość 2. Puste kółko przy x=−3 oznacza, że tego punktu nie wliczamy, ale wartość 2 jest osiągana dla innych argumentów.

\[f(x)=2\quad\text{dla }x\in[-4,-3)\]

2 Porównanie z pozostałą częścią przedziału

Od x=−3 do x=1 wykres jest rosnącym odcinkiem, więc jego największa wartość to 1, osiągana przy x=1. Porównujemy ją z wartością 2.

\[\max_{x\in[-3,1]}f(x)=f(1)=1<2\]

Odpowiedź

Największa wartość funkcji wynosi 2. Odpowiedź C.

\[\max_{x\in[-4,1]}f(x)=2\]

Sprawdzenie

Wartość 2 jest osiągana, na przykład dla x=−4. Punkt o wysokości 5 przy x=1 jest pusty, więc f(1)=1 i nie zwiększa maksimum.

\[f(-4)=2,\qquad f(1)=1\]

Zadanie 12.3

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

94%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, wspólny dla podzadań 12.1–12.3.

$[-6,-3)$

$[-3,1]$

$(1,2]$

$[2,5]$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

Funkcja jest malejąca tam, gdzie wraz ze wzrostem argumentu jej wartość maleje. Na wykresie dzieje się tak od x=2 do x=5, a oba końce należą do wykresu.

\[f(2)=5,\quad f(5)=3,\quad 5>3\]

Odpowiedź

D. Funkcja f jest malejąca w przedziale [2,5].

\[[2,5]\]

Sprawdzenie

Odcinek wykresu na tym przedziale ma ujemne nachylenie, więc wartości funkcji maleją dla każdej pary argumentów w przedziale.

\[\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{3-5}{3}=-\frac{2}{3}<0\]

Zadanie 13

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ oraz liczba $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki:

$Fragment wykresu funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych z oznaczonymi osiami $x$ i $y$, punktem $0$ oraz jednostkami na obu osiach. Prosta opada w prawo i przecina dodatnie części obu osi.$

$a>0$ i $b>0$.

$a>0$ i $b<0$.

$a<0$ i $b>0$.

$a<0$ i $b<0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika a

Prosta opada, gdy x rośnie, więc współczynnik kierunkowy jest ujemny.

\[a<0\]

2 Znak wyrazu wolnego b

Wyraz wolny to wartość funkcji dla x=0. Prosta przecina oś y powyżej zera, więc jest on dodatni.

\[b=f(0)>0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: a<0 i b>0.

\[a<0\quad\text{i}\quad b>0\]

Sprawdzenie

Ujemne a odpowiada prostej opadającej w prawo, a dodatnie b jej przecięciu z dodatnią częścią osi y. Obie własności widać na rysunku.

\[a<0,\quad f(0)=b>0\]

Zadanie 14

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

78%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ jest liczba $(-5)$. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, jest równa $3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

$11$

$1$

$(-1)$

$(-13)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną jej miejsc zerowych. Podstawiamy znane wartości i rozwiązujemy równanie.

\[3=\frac{-5+x_2}{2}\quad\Rightarrow\quad 6=-5+x_2\quad\Rightarrow\quad x_2=11\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest 11. Odpowiedź A.

\[x_2=11\]

Sprawdzenie

Średnia miejsc zerowych −5 i 11 wynosi 3, czyli jest równa podanej pierwszej współrzędnej wierzchołka.

\[\frac{-5+11}{2}=3\]

Zadanie 15

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

95%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2^n\cdot(n+1)$ dla każdej liczby naturalnej $n\geqslant 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz $a_4$ jest równy

$64$

$40$

$48$

$80$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Aby obliczyć czwarty wyraz ciągu, podstawiamy $n=4$ do podanego wzoru.

\[a_4=2^4\cdot(4+1)=16\cdot5=80\]

Odpowiedź

Wyraz $a_4$ jest równy 80. Odpowiedź D.

\[a_4=80\]

Sprawdzenie

Ponieważ $2^4=16$ oraz $4+1=5$, ich iloczyn wynosi $80$, co odpowiada odpowiedzi D.

\[16\cdot5=80\]

Zadanie 16

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trzywyrazowy ciąg $(27,\ 9,\ a-1)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

$3$

$0$

$4$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Dzielimy drugi wyraz przez pierwszy.

\[q=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie liczby a

Trzeci wyraz jest iloczynem drugiego wyrazu i ilorazu ciągu.

\[a-1=9\cdot\frac{1}{3}=3,\qquad a=4\]

Odpowiedź

Liczba a jest równa 4. Odpowiedź C.

\[a=4\]

Sprawdzenie

Dla a = 4 ciąg ma postać (27, 9, 3). Ilorazy są równe, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{9}{27}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 17

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

48%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sumy rat

Raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy −30 zł. Korzystamy ze wzoru na sumę 18 początkowych wyrazów.

\[8910=\frac{18}{2}\bigl(2a_1+17\cdot(-30)\bigr)=9(2a_1-510)\]

2 Obliczenie pierwszej raty

Rozwiązujemy otrzymane równanie względem kwoty pierwszej raty.

\[2a_1-510=990,\quad 2a_1=1500,\quad a_1=750\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Pierwsza rata wynosiła 750 zł.

\[a_1=750\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Ostatnia rata wynosiła 240 zł. Średnia pierwszej i ostatniej raty to 495 zł, więc suma 18 rat wynosi 8910 zł. Wszystkie raty są dodatnie.

\[a_{18}=750-17\cdot30=240\ \text{zł},\qquad 18\cdot\frac{750+240}{2}=8910\ \text{zł}\]

Zadanie 18

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

82%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono kąt $\alpha$ o wierzchołku w punkcie $O=(0,0)$. Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$, a drugie przechodzi przez punkt $P=(-3,1)$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Układ współrzędnych z oznaczonymi osiami, punktem P=(-3,1) i kątem α między dodatnią półosią Ox a ramieniem przechodzącym przez P.

$\frac{1}{\sqrt{10}}$

$-\frac{3}{\sqrt{10}}$

$-\frac{3}{1}$

$-\frac{1}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal współrzędne punktu

Ramię kąta przechodzi przez punkt P, więc jego współrzędne pozwalają obliczyć tangens kąta.

\[P=(-3,1),\quad x=-3,\quad y=1\]

2 Oblicz tangens

Dla ramienia przechodzącego przez punkt $P=(x,y)$, gdy $x\neq 0$, tangens kąta z dodatnią półosią $Ox$ jest równy $\frac{y}{x}$.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi −1/3. Odpowiedź D.

\[\operatorname{tg}\alpha=-\frac{1}{3}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Punkt P leży w II ćwiartce, gdzie tangens jest ujemny. Ponadto iloraz jego współrzędnych to 1/(−3), więc wynik ma właściwy znak i wartość.

\[x<0,\ y>0,\quad \frac{y}{x}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}\]

Zadanie 19

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

50%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha$ jest równe

$\sin^2\alpha$

$\sin^6\alpha\cdot\cos^2\alpha$

$\sin^4\alpha+1$

$\sin^2\alpha\cdot(\sin\alpha+\cos\alpha)\cdot(\sin\alpha-\cos\alpha)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Oba składniki zawierają $\sin^2\alpha$, więc wyłączamy je przed nawias.

\[\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Dla każdego kąta zachodzi $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

\[\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: $\sin^2\alpha$.

\[\sin^2\alpha\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ składniki z $\sin^4\alpha$ się redukują, co potwierdza wynik dla każdego kąta ostrego.

\[\sin^4\alpha+\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha)=\sin^2\alpha\]

Zadanie 20

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W rombie o boku długości $6\sqrt{2}$ kąt rozwarty ma miarę $150^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

$24$

$72$

$36$

$36\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Pole rombu jest równe iloczynowi kwadratów długości boku i sinusa kąta między bokami.

\[P=(6\sqrt{2})^2\sin150^\circ=72\cdot\frac12=36\]

2 Wyznaczenie iloczynu przekątnych

Pole rombu jest też równe połowie iloczynu długości jego przekątnych, więc mnożymy pole przez 2.

\[P=\frac{d_1d_2}{2},\qquad d_1d_2=2\cdot36=72\]

Odpowiedź

B. Iloczyn długości przekątnych wynosi 72.

\[d_1d_2=72\]

Sprawdzenie

Kąt ostry rombu ma 30°. Obliczone z niego pole wynosi 36, tyle samo co połowa otrzymanego iloczynu przekątnych.

\[(6\sqrt{2})^2\sin30^\circ=72\cdot\frac12=36=\frac{72}{2}\]

Zadanie 21

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty $A$, $B$, $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ACO$ ma miarę $70^\circ$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C na okręgu oraz zaznaczonym kątem ACO o mierze 70°.

$10^\circ$

$20^\circ$

$35^\circ$

$40^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kąta środkowego

Promienie OA i OC są równe, więc trójkąt AOC jest równoramienny. Kąty przy A i C mają po 70°.

\[\angle AOC=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ\]

2 Obliczenie kąta wpisanego

Kąt ABC i kąt środkowy AOC są oparte na tym samym łuku AC. Kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.

\[\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ\]

Odpowiedź

B. Miara kąta ABC wynosi 20°.

\[\angle ABC=20^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt 20° jest ostry, a jego podwojona miara, 40°, zgadza się z obliczonym kątem środkowym AOC.

\[2\cdot20^\circ=40^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości $5$ i $12$. Przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość $26$.

Oblicz pole trójkąta $T_2$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przeciwprostokątnej

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta T₁.

\[c_1=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\]

2 Wyznaczenie przyprostokątnych T₂

Trójkąty są podobne, więc wszystkie boki T₂ są dwa razy dłuższe.

\[k=\frac{26}{13}=2,\qquad a_2=2\cdot5=10,\qquad b_2=2\cdot12=24\]

3 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu jego przyprostokątnych.

\[P_2=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

Odpowiedź

Pole trójkąta T₂ wynosi 120 jednostek kwadratowych.

\[P_2=120\]

Sprawdzenie

Boki 10 i 24 dają przeciwprostokątną 26, zgodnie z treścią zadania.

\[10^2+24^2=676=26^2\]

Zadanie 23

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach

$k:\ y=\frac{2}{3}x$

$l:\ y=-\frac{3}{2}x+13$

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Proste $k$ oraz $l$ … i przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych …

są prostopadłe

nie są prostopadłe

$(-6,-4)$

$(6,4)$

$(-6,4)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie prostopadłości

Dwie proste o współczynnikach kierunkowych, których iloczyn wynosi −1, są prostopadłe.

\[\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\]

2 Wyznaczenie punktu przecięcia

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą wartość y. Przyrównujemy więc prawe strony równań i obliczamy współrzędne.

\[\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13\quad\Longrightarrow\quad\frac{13}{6}x=13\quad\Longrightarrow\quad x=6,\qquad y=\frac{2}{3}\cdot6=4\]

Odpowiedź

Proste są prostopadłe i przecinają się w punkcie P=(6,4). Odpowiedzi: A oraz 2.

\[P=(6,4)\]

Sprawdzenie

Dla x=6 druga prosta ma wartość y=−9+13=4, więc punkt (6,4) należy do obu prostych.

\[-\frac{3}{2}\cdot6+13=4=\frac{2}{3}\cdot6\]

Zadanie 24

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y=-\frac{1}{3}x+2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $P=(3,5)$, gdy

$a=3$ i $b=4$.

$a=-\frac{1}{3}$ i $b=4$.

$a=3$ i $b=-4$.

$a=-\frac{1}{3}$ i $b=6$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy, więc odczytujemy go z równania prostej k.

\[a=-\frac{1}{3}\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Ponieważ szukana prosta przechodzi przez punkt P=(3,5), jego współrzędne spełniają jej równanie.

\[5=-\frac{1}{3}\cdot 3+b=-1+b\quad\Rightarrow\quad b=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: a = −1/3 i b = 6.

\[y=-\frac{1}{3}x+6\]

Sprawdzenie

Współczynnik kierunkowy jest taki sam jak dla prostej k. Po podstawieniu x = 3 otrzymujemy y = 5, więc prosta przechodzi przez punkt P.

\[-\frac{1}{3}\cdot 3+6=5\]

Zadanie 25

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $15$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

$15\sqrt{2}$

$45$

$5\sqrt{2}$

$10$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rzut przekątnej

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu o boku 15. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jej długość.

\[p=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2}\]

2 Długość przekątnej graniastosłupa

Cosinus kąta nachylenia prostej do płaszczyzny jest stosunkiem długości rzutu do długości tej prostej. Stąd obliczamy przekątną d.

\[\frac{p}{d}=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3},\qquad d=\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{2}/3}=45\]

Odpowiedź

Długość przekątnej wynosi 45. Odpowiedź B.

\[d=45\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej długości stosunek przekątnej podstawy do przekątnej graniastosłupa jest równy podanemu cosinusowi kąta.

\[\frac{15\sqrt{2}}{45}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]

Zadanie 26

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$ i ma długość równą $6$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczoną wysokością ściany bocznej długości 6 i kątem 30° między tą wysokością a płaszczyzną podstawy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wysokość ostrosłupa

Rzut wysokości ściany bocznej na podstawę biegnie od środka kwadratu do środka jego boku. Tworzy z wysokością ostrosłupa trójkąt prostokątny, więc korzystamy z sinusa kąta nachylenia.

\[H=6\sin 30^\circ=6\cdot\frac12=3\]

2 Bok podstawy

Długość rzutu wynosi połowę boku kwadratu. Obliczamy ją z cosinusa kąta nachylenia.

\[\frac a2=6\cos 30^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3,\qquad a=6\sqrt3\]

3 Objętość

Podstawa jest kwadratem, więc jej pole wynosi $a^2$. Stosujemy wzór na objętość ostrosłupa.

\[P_p=(6\sqrt3)^2=108,\qquad V=\frac13P_pH=\frac13\cdot108\cdot3=108\]

4 Pole powierzchni całkowitej

Cztery ściany boczne są jednakowymi trójkątami o podstawie $a$ i wysokości $6$. Dodajemy ich pola do pola podstawy.

\[P_c=P_p+4\cdot\frac{a\cdot6}{2}=108+4\cdot\frac{6\sqrt3\cdot6}{2}=108+72\sqrt3\]

Odpowiedź

Objętość wynosi 108 jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi $108+72\sqrt3$ jednostek kwadratowych.

\[V=108,\qquad P_c=108+72\sqrt3\]

Sprawdzenie

Obliczona wysokość i połowa boku podstawy tworzą z wysokością ściany bocznej trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 6. Obie długości są dodatnie.

\[3^2+(3\sqrt3)^2=9+27=36=6^2\]

Zadanie 27

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

88%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby $W$ wszystkich wierzchołków do liczby $K$ wszystkich krawędzi jest równy $\frac{W}{K}=\frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podstawą tego ostrosłupa jest

kwadrat.

pięciokąt foremny.

sześciokąt foremny.

siedmiokąt foremny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wierzchołki i krawędzie

Jeśli podstawa ma $n$ wierzchołków, ostrosłup ma jeszcze jeden wierzchołek nad podstawą. Ma też $n$ krawędzi podstawy i $n$ krawędzi bocznych.

\[W=n+1,\qquad K=2n\]

2 Wyznacz liczbę boków podstawy

Podstawiamy te liczby do podanego stosunku i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{n+1}{2n}=\frac35\quad\Longrightarrow\quad 5(n+1)=6n\quad\Longrightarrow\quad n=5\]

Odpowiedź

B. Podstawą jest pięciokąt foremny.

\[n=5\]

Sprawdzenie

Dla pięciokątnej podstawy ostrosłup ma 6 wierzchołków i 10 krawędzi, więc otrzymujemy wymagany stosunek.

\[\frac{W}{K}=\frac{5+1}{2\cdot5}=\frac6{10}=\frac35\]

Zadanie 28

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

81%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry $0$, $5$, $7$ (np. $57\ 075$, $55\ 555$), jest

$5^3$

$2\cdot4^3$

$2\cdot3^4$

$3^5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc pierwszą cyfrą jest 5 albo 7.

\[2\text{ możliwości}\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Na każdym z czterech pozostałych miejsc można niezależnie wpisać 0, 5 albo 7. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich zapisów.

\[2\cdot 3^4=2\cdot 81=162\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C, czyli 162 liczby.

\[2\cdot 3^4=162\]

Sprawdzenie

Spośród wszystkich zapisów z pięciu dozwolonych cyfr odjęcie tych, które zaczynają się od zera, daje ten sam wynik.

\[3^5-3^4=243-81=162\]

Zadanie 29.1

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

68%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 29, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa

Diagram słupkowy cen za 1 kg pomidorów (w zł) i liczby sklepów. Ceny 5,05; 5,60; 5,70; 6,00; 6,30 odpowiadają kolejno 2, 4, 2, 5 i 3 sklepom.

$5{,}80\ \text{zł}$

$5{,}73\ \text{zł}$

$5{,}85\ \text{zł}$

$6{,}00\ \text{zł}$

$5{,}70\ \text{zł}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal środkowe ceny

Wśród 16 uporządkowanych cen medianę wyznaczają pozycje 8. i 9. Z diagramu wynika, że cena 5,70 zł zajmuje pozycje 7.–8., a 6,00 zł pozycje 9.–13.

\[2+4=6,\qquad 6+2=8,\qquad 8+5=13\]

2 Oblicz medianę

Przy parzystej liczbie danych mediana jest średnią dwóch środkowych wartości.

\[\frac{5{,}70+6{,}00}{2}=5{,}85\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 5,85 zł. Odpowiedź C.

\[\boxed{5{,}85\ \text{zł}\quad\text{— C}}\]

Sprawdzenie

Liczby sklepów sumują się do 16, a po obu stronach dwóch środkowych cen znajduje się po 7 cen.

\[2+4+2+5+3=16,\qquad 5{,}70<5{,}85<6{,}00\]

Zadanie 29.2

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

68%średni wynik CKE · całe zadanie

Średni procent zdobytych punktów. Dotyczy całego zadania 29, nie tylko tego podpunktu. Raport CKE ↗

Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa

Diagram słupkowy cen za 1 kg pomidorów w szesnastu sklepach. Ceny 5,05; 5,60; 5,70; 6,00; 6,30 zł odpowiadają kolejno liczbie sklepów 2, 4, 2, 5, 3.

5,80 zł

5,73 zł

5,85 zł

6,00 zł

5,70 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie liczby sklepów

Z diagramu odczytujemy, ile sklepów oferuje każdą cenę. Razem jest 16 sklepów.

\[2+4+2+5+3=16\]

2 Obliczenie średniej

Każdą cenę mnożymy przez liczbę sklepów, w których występuje, a sumę dzielimy przez 16.

\[\frac{5{,}05\cdot2+5{,}60\cdot4+5{,}70\cdot2+6{,}00\cdot5+6{,}30\cdot3}{16}=\frac{92{,}80}{16}=5{,}80\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Średnia cena wynosi 5,80 zł. Odpowiedź A.

\[\boxed{5{,}80\ \text{zł}\quad\text{A}}\]

Sprawdzenie

Obliczona średnia pomnożona przez liczbę sklepów daje łączną kwotę używaną w obliczeniu.

\[5{,}80\cdot16=92{,}80\ \text{zł}\]

Zadanie 30

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru ośmiu liczb $\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez $15$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Losowania odbywają się ze zwracaniem, więc za każdym razem mamy osiem możliwości. Kolejność losowań ma znaczenie.

\[|\Omega|=8\cdot 8=64\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Iloczyn jest podzielny przez 15, gdy zawiera czynniki 3 i 5. Spośród podanych liczb tylko 5 jest podzielna przez 5, a liczby 3, 6 i 9 są podzielne przez 3. Liczba 5 może wystąpić w pierwszym albo drugim losowaniu.

\[|A|=1\cdot 3+3\cdot 1=6\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane wyniki są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi $\frac{3}{32}$.

\[P(A)=\frac{3}{32}\]

Sprawdzenie

Wyniki sprzyjające to dokładnie $(5,3),(5,6),(5,9),(3,5),(6,5),(9,5)$. Jest ich sześć, a każdy iloczyn jest podzielny przez 15.

\[5\cdot3=15,\quad 5\cdot6=30,\quad 5\cdot9=45\]

Zadanie 31.1

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt