Zadanie 31.2 — matura 2023, maj | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego dnia opisuje funkcja \[L(n)=-n^2+22n+279\] gdzie \(n\) jest liczbą naturalną spełniającą warunki \(n\geq 1\) i \(n\leq 30\).

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie postaci kanonicznej

Zapisujemy funkcję jako kwadrat, aby ustalić, kiedy przyjmuje największą wartość.

\[L(n)=-n^2+22n+279=-(n-11)^2+400\]

2 Wyznaczenie dnia i liczby klientów

Kwadrat jest nieujemny, więc największą wartość otrzymujemy, gdy jest równy zeru. Liczba 11 należy do przedziału dni od 1 do 30.

\[(n-11)^2=0\iff n=11,\qquad L(11)=400\]

Odpowiedź

Najwięcej klientów, 400, obsłużono jedenastego dnia.

\[n=11,\qquad L(11)=400\]

Sprawdzenie

Dla każdego dopuszczalnego dnia kwadrat liczby n−11 jest nieujemny, więc liczba klientów nie przekracza 400. W jedenastym dniu osiąga 400.

\[1\leq n\leq 30\implies L(n)=400-(n-11)^2\leq 400\]