Zadanie 31.1 — matura 2023, maj | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

57%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego dnia opisuje funkcja \(L(n)=-n^{2}+22n+279\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną spełniającą warunki \(n\geq 1\) i \(n\leq 30\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa \(L(30)\).	P	F
W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono \(336\) klientów.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Łączna liczba klientów

Funkcja podaje liczbę klientów w jednym dniu, więc wynik za 30 dni otrzymujemy przez dodanie wartości od pierwszego do trzydziestego dnia.

\[\sum_{n=1}^{30}L(n)=-\sum_{n=1}^{30}n^2+22\sum_{n=1}^{30}n+30\cdot279=-9455+22\cdot465+8370=9145\]

2 Porównanie z wartością L(30)

Obliczamy liczbę klientów trzydziestego dnia i porównujemy ją z sumą. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[L(30)=-30^2+22\cdot30+279=39\neq9145\]

3 Trzeci dzień

Podstawiamy n=3 do wzoru funkcji. Otrzymujemy 336 klientów, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

\[L(3)=-3^2+22\cdot3+279=-9+66+279=336\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[\mathrm{F},\ \mathrm{P}\]

Sprawdzenie

Wszystkie dni należą do dziedziny od 1 do 30. Ponowne zsumowanie składników daje 10230+8370−9455=9145, a podstawienie n=3 daje 336.

\[22\cdot465+30\cdot279-9455=9145,\qquad -9+66+279=336\]