Otwarte2 pkt
Liczby rzeczywiste
43%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Rozłóż wyrażenie na czynniki
Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby otrzymać iloczyn kolejnych liczb naturalnych.
\[(2n+1)^2-1=(2n+1-1)(2n+1+1)=4n(n+1)\]
2 Wykaż podzielność przez 8
Spośród dwóch kolejnych liczb \(n\) i \(n+1\) jedna jest parzysta, więc ich iloczyn jest podzielny przez \(2\). Po pomnożeniu przez \(4\) otrzymujemy wielokrotność \(8\).
\[n(n+1)=2k\quad\text{dla pewnego }k\in\mathbb{N},\qquad 4n(n+1)=8k\]
Odpowiedź
Dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) podana liczba jest podzielna przez \(8\).
\[8\mid\bigl((2n+1)^2-1\bigr)\]
Sprawdzenie
Dla najmniejszej dopuszczalnej wartości \(n=1\) otrzymujemy \(8\), zgodnie z wykazaną podzielnością.
\[(2\cdot1+1)^2-1=9-1=8\]