Zamknięte1 pkt
Trygonometria
65%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) iloczyn \(\frac{\cos\alpha}{1-\sin^2\alpha}\cdot\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\) jest równy
A
\(\sin\alpha\)
B
\(\operatorname{tg}\alpha\)
C
\(\cos\alpha\)
D
\(\sin^2\alpha\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie tożsamości
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby uprościć oba ułamki.
\[1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha,\qquad 1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\]
2 Skrócenie iloczynu
Dla kąta ostrego sinus i cosinus są dodatnie, więc możemy skrócić ułamki.
\[\frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha\]
Odpowiedź
B — tangens kąta α.
\[\operatorname{tg}\alpha\]
Sprawdzenie
Dla kąta ostrego oba pierwotne mianowniki są dodatnie: pierwszy jest równy kwadratowi cosinusa, a drugi sinusowi. Skracanie jest więc dozwolone.
\[1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha>0,\qquad \sin\alpha>0\]