Zadanie 31 — matura 2025, maj | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

38%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\) oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Prostopadłościan ABCDEFGH; krawędź AB oznaczona x, krawędź BC oznaczona 4. Krawędzie niewidoczne zaznaczono linią przerywaną.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości i dziedziny

Z wierzchołka B wychodzą trzy krawędzie o długościach x, 4 i BF. Ich suma wynosi 15. Każda długość musi być dodatnia.

\[x+4+BF=15\quad\Rightarrow\quad BF=11-x>0,\qquad x>0\quad\Rightarrow\quad x\in(0,11)\]

2 Wzór na pole powierzchni

Prostopadłościan ma po dwie ściany o polach równych iloczynom każdej pary jego wymiarów.

\[P(x)=2\bigl(4x+4(11-x)+x(11-x)\bigr)=-2x^2+22x+88\]

3 Największe pole

Po sprowadzeniu wzoru do postaci kanonicznej widać, że odejmowany kwadrat jest najmniejszy dla x równego 11/2. Ta wartość należy do dziedziny.

\[P(x)=-2\left(x-\frac{11}{2}\right)^2+\frac{297}{2}\leq\frac{297}{2},\qquad x=\frac{11}{2}\]

Odpowiedź

Dziedzina funkcji P to (0,11). Największe pole powierzchni całkowitej występuje, gdy krawędź AB ma długość 11/2.

\[P(x)=-2x^2+22x+88,\quad x\in(0,11);\qquad x_{\max}=\frac{11}{2}\]

Sprawdzenie

Dla x=11/2 wysokość również wynosi 11/2, więc wszystkie krawędzie mają dodatnie długości, a ich suma przy B wynosi 15. Podstawienie do wzoru daje największe pole 297/2.

\[\frac{11}{2}+4+\frac{11}{2}=15,\qquad P\left(\frac{11}{2}\right)=2\left(4\cdot\frac{11}{2}+4\cdot\frac{11}{2}+\frac{11}{2}\cdot\frac{11}{2}\right)=\frac{297}{2}\]