Otwarte2 pkt
Funkcje
62%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\).
Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie postaci kanonicznej
Współrzędne wierzchołka \((3,6)\) wyznaczają postać kanoniczną funkcji; pozostaje obliczyć współczynnik \(a\).
\[f(x)=a(x-3)^2+6\]
2 Wyznaczenie współczynnika
Punkt \((0,3)\) należy do paraboli, więc podstawiamy jego współrzędne do wzoru.
\[3=a(0-3)^2+6=9a+6\quad\Rightarrow\quad 9a=-3\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{1}{3}\]
Odpowiedź
Wzór funkcji w postaci kanonicznej:
\[f(x)=-\frac{1}{3}(x-3)^2+6\]
Sprawdzenie
Dla \(x=0\) otrzymujemy \(f(0)=3\), a dla \(x=3\) otrzymujemy \(f(3)=6\). Współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc wierzchołek jest maksimum, zgodnie z rysunkiem.
\[f(0)=-\frac{1}{3}\cdot 9+6=3,\qquad f(3)=-\frac{1}{3}\cdot 0+6=6\]