Zadanie 14.2 — matura 2025, maj | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco: \[\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=2a_n+1\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq 1.\]

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie początkowych wyrazów

Do oceny obu stwierdzeń wystarczą trzy pierwsze wyrazy ciągu. Korzystamy z podanego wzoru rekurencyjnego.

\[a_1=2,\quad a_2=2\cdot2+1=5,\quad a_3=2\cdot5+1=11\]

2 Sprawdzenie arytmetyczności

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe. Tutaj otrzymujemy różne różnice.

\[a_2-a_1=5-2=3,\qquad a_3-a_2=11-5=6,\qquad 3\ne6\]

3 Sprawdzenie geometryczności

W ciągu geometrycznym ilorazy kolejnych wyrazów są równe. Wyznaczone wyrazy są niezerowe, więc możemy obliczyć ilorazy.

\[\frac{a_2}{a_1}=\frac52,\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{11}{5},\qquad \frac52\ne\frac{11}{5}\]

Odpowiedź

Ciąg arytmetyczny — F. Ciąg geometryczny — F.

\[\text{arytmetyczny: F, geometryczny: F}\]

Sprawdzenie

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego środkowy jest średnią sąsiednich, a dla geometrycznego jego kwadrat jest iloczynem sąsiednich. Żaden z tych warunków nie zachodzi.

\[2a_2=10\ne13=a_1+a_3,\qquad a_2^2=25\ne22=a_1a_3\]