Otwarte3 pkt
Ciągi
49%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Warunek arytmetyczności
W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią skrajnych. Podstawiamy podane wyrazy i rozwiązujemy równanie.
\[2(m^2+3)=(2m+11)+(5-m)\iff 2m^2-m-10=0\iff (2m-5)(m+2)=0\iff m=\frac52\ \text{lub}\ m=-2\]
2 Warunek malejącego ciągu
Sprawdzamy oba rozwiązania, ponieważ ciąg stały jest arytmetyczny, ale nie jest malejący.
\[m=-2:\ (7,7,7);\qquad m=\frac52:\ \left(16,\frac{37}{4},\frac52\right),\quad 16>\frac{37}{4}>\frac52\]
Odpowiedź
Szukana wartość to m = 5/2.
\[m=\frac52\]
Sprawdzenie
Dla m = 5/2 kolejne różnice są równe i ujemne: obie wynoszą −27/4. Ciąg jest więc arytmetyczny i malejący.
\[\frac{37}{4}-16=\frac52-\frac{37}{4}=-\frac{27}{4}<0\]