Zamknięte1 pkt
Trygonometria
51%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=11\), \(|BC|=12\) oraz \(|\angle ABC|=60^\circ\) (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny. | P | F |
| Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(33\sqrt{3}\). | P | F |
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie trzeciego boku
Znamy dwa boki i kąt między nimi, więc stosujemy twierdzenie cosinusów.
\[|AC|^2=11^2+12^2-2\cdot11\cdot12\cos60^\circ=121+144-132=133,\quad |AC|=\sqrt{133}\]
2 Ocena pierwszego stwierdzenia
Boki o długościach 11 i 12 są różne, a \(121<133<144\), więc trzeci bok także ma inną długość.
\[11<\sqrt{133}<12\quad\Longrightarrow\quad \text{trójkąt nie jest równoramienny (F)}\]
3 Obliczenie pola
Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.
\[P=\frac12\cdot11\cdot12\sin60^\circ=66\cdot\frac{\sqrt3}{2}=33\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad \text{drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P)}\]
Odpowiedź
Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.
\[\boxed{\mathrm{F},\ \mathrm{P}}\]
Sprawdzenie
Wysokość opuszczona z C na prostą AB ma długość \(12\sin60^\circ=6\sqrt3\). Obliczone z niej pole wynosi \(33\sqrt3\), zgodnie z wynikiem.
\[\frac12\cdot11\cdot6\sqrt3=33\sqrt3\]