Otwarte3 pkt
Stereometria
49%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120^\circ\).
Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie promienia i wysokości
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 60°, tworząc trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 8.
\[r=8\sin 60^\circ=4\sqrt{3},\qquad h=8\cos 60^\circ=4\]
2 Obliczenie objętości
Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość stożka.
\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(4\sqrt{3})^2\cdot4=64\pi\]
Odpowiedź
Objętość stożka wynosi \(64\pi\) jednostek sześciennych.
\[V=64\pi\]
Sprawdzenie
Promień i wysokość dają tworzącą długości 8, a stosunek promienia do wysokości odpowiada połowie kąta rozwarcia.
\[\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=8,\qquad \frac{r}{h}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]