Otwarte2 pkt
Liczby rzeczywiste
32%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^2+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapis liczby nieparzystej
Każdą nieparzystą liczbę naturalną można zapisać w tej postaci dla pewnej liczby całkowitej nieujemnej \(k\).
\[n=2k+1\]
2 Wyłączenie czynnika 4
Podstawiamy tę postać do wyrażenia i wyłączamy wspólny czynnik.
\[3n^2+2n+7=3(2k+1)^2+2(2k+1)+7=12k^2+16k+12=4(3k^2+4k+3)\]
Odpowiedź
Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) wyrażenie \(3n^2+2n+7\) jest podzielne przez \(4\), ponieważ \(3k^2+4k+3\) jest liczbą całkowitą.
\[4\mid(3n^2+2n+7)\]
Sprawdzenie
Niezależnie, dla nieparzystego \(n\) mamy \(n^2\equiv1\pmod 4\) oraz \(2n\equiv2\pmod 4\). Suma reszt wynosi \(3+2+3=8\), czyli jest podzielna przez \(4\).
\[3n^2+2n+7\equiv3\cdot1+2+3\equiv0\pmod 4\]