Zadanie 12.3 — matura 2025, maj | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3,6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,3)$.

$Fragment wykresu paraboli $y=f(x)$ w układzie współrzędnych$

Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x)=f(x)-3$. Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma $x_1+x_2$ jest równa ……… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsze miejsce zerowe

Miejsca zerowe funkcji g spełniają warunek f(x)=3. Ponieważ parabola przecina oś Oy w punkcie (0,3), jednym z nich jest 0.

\[g(0)=f(0)-3=3-3=0,\quad x_1=0\]

2 Drugie miejsce zerowe

Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek i ma równanie x=3. Punkty wykresu o tej samej wartości y leżą w równej odległości od tej osi, więc drugim miejscem zerowym jest 6.

\[\frac{x_1+x_2}{2}=3\quad\Longrightarrow\quad x_2=6\]

Odpowiedź

Suma miejsc zerowych jest równa 6.

\[x_1+x_2=0+6=6\]

Sprawdzenie

Liczby 0 i 6 są różne, a ich średnia wynosi 3, czyli leżą symetrycznie względem osi paraboli. Ponieważ f(0)=3, symetria daje także f(6)=3; obie liczby są więc miejscami zerowymi g.

\[g(0)=g(6)=0,\qquad \frac{0+6}{2}=3\]