Otwarte2 pkt
Równania i nierówności
68%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Rozwiąż nierówność \(3(2x^2+1)<11x\).
Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Sprowadzamy nierówność do postaci kwadratowej, aby wyznaczyć miejsca zerowe trójmianu.
\[3(2x^2+1)<11x\iff 6x^2-11x+3<0\]
2 Oblicz miejsca zerowe
Obliczamy wyróżnik i pierwiastki trójmianu.
\[\Delta=(-11)^2-4\cdot6\cdot3=49,\qquad x_1=\frac{11-7}{12}=\frac13,\qquad x_2=\frac{11+7}{12}=\frac32\]
3 Wyznacz przedział
Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest ujemny między miejscami zerowymi.
\[6x^2-11x+3<0\iff \frac13<x<\frac32\]
Odpowiedź
Rozwiązaniem jest przedział \(\left(\frac13,\frac32\right)\).
\[x\in\left(\frac13,\frac32\right)\]
Sprawdzenie
Po rozłożeniu trójmianu na czynniki widać, że między pierwiastkami jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny. Na końcach przedziału iloczyn wynosi zero, więc końce są wykluczone.
\[6x^2-11x+3=(3x-1)(2x-3)<0\quad\text{dla}\quad\frac13<x<\frac32\]