Zamknięte1 pkt
Trygonometria
59%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, przyprostokątna \(AB\) ma długość \(6\), a środkowa \(CD\) ma długość \(5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Sinus kąta \(\beta\) jest równy
A
\(\frac{2}{\sqrt{13}}\)
B
\(\frac{3}{\sqrt{13}}\)
C
\(\frac{5}{2\sqrt{13}}\)
D
\(\frac{4}{5}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie połowy boku AB
Ponieważ CD jest środkową, punkt D jest środkiem boku AB.
\[AD=DB=\frac{AB}{2}=3\]
2 Obliczenie przyprostokątnej AC
Trójkąt ACD jest prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
\[AC^2=CD^2-AD^2=5^2-3^2=16,\quad AC=4\]
3 Obliczenie sinusa kąta β
W trójkącie ABC bok AC leży naprzeciw kąta β. Obliczamy przeciwprostokątną BC i korzystamy z definicji sinusa.
\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13},\quad \sin\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{13}}\]
Odpowiedź
Odpowiedź A.
\[\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{13}}\]
Sprawdzenie
Otrzymane długości spełniają twierdzenie Pitagorasa w obu trójkątach prostokątnych.
\[3^2+4^2=5^2,\quad 6^2+4^2=(2\sqrt{13})^2\]