Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2024

Poziom podstawowyCzerwiecFormuła 2023

Zobacz zadania i rozwiązania 37 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

37 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}\) jest równa

\((-16)\)

\((-4)\)

\(2\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz 32 jako potęgę 2

Sprowadzamy obie potęgi do tej samej podstawy, aby zastosować prawa działań na potęgach.

\[2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}=2^{-1}\cdot(2^5)^{\frac{3}{5}}\]

2 Oblicz wartość

Mnożymy wykładniki potęgi potęgi, a następnie dodajemy wykładniki potęg o tej samej podstawie.

\[2^{-1}\cdot 2^{5\cdot\frac{3}{5}}=2^{-1}\cdot 2^3=2^2=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Pierwiastek piątego stopnia z 32 to 2, więc jego sześcian to 8. Po pomnożeniu przez jedną drugą otrzymujemy 4.

\[2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}=\frac12\cdot(\sqrt[5]{32})^3=\frac12\cdot 2^3=4\]

Zadanie 2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{3}\left(\frac{3}{2}\right)+\log_{3}\left(\frac{2}{9}\right)\) jest równa

\(\log_{3}\frac{31}{18}\)

\(\log_{3}\frac{5}{11}\)

\((-1)\)

\(\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Argumenty są dodatnie, więc suma logarytmów o tej samej podstawie jest logarytmem iloczynu.

\[\log_{3}\left(\frac{3}{2}\right)+\log_{3}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_{3}\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\right)=\log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(\frac{1}{3}=3^{-1}\), otrzymujemy wartość logarytmu.

\[\log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)=\log_{3}(3^{-1})=-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: −1.

\[-1\]

Sprawdzenie

Argumenty obu logarytmów są dodatnie, a \(3^{-1}=\frac{1}{3}\), więc otrzymany wynik spełnia definicję logarytmu.

\[3^{-1}=\frac{1}{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\]

Zadanie 3

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\left(2\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)^2\) jest równa

\(22\)

\(42\)

\(42+4\sqrt{5}\)

\(42+8\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat sumy

Stosujemy wzór na kwadrat sumy, aby uwzględnić także iloczyn obu składników.

\[(2\sqrt{10}+\sqrt{2})^2=(2\sqrt{10})^2+2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=40+4\sqrt{20}+2\]

2 Uprość wynik

Wyłączamy czynnik będący kwadratem spod pierwiastka i dodajemy liczby całkowite.

\[40+4\sqrt{20}+2=42+4\cdot2\sqrt{5}=42+8\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[42+8\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi D występuje dokładnie otrzymana wartość. Wyraz mieszany wynosi \(2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=8\sqrt{5}\), więc współczynnik przy pierwiastku jest poprawny.

\[2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{20}=8\sqrt{5}\]

Zadanie 4

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości \(K_0\) zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

\(K_0\cdot(1{,}06)^3\)

\(K_0\cdot(1{,}02)^3\)

\(K_0\cdot(1{,}03)^6\)

\(K_0\cdot1{,}18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kapitał po roku

Odsetki wynoszą 6% bieżącego kapitału, więc po każdym roku kapitał mnożymy przez 1,06.

\[K_1=K_0+0{,}06K_0=1{,}06K_0\]

2 Kapitał po trzech latach

Odsetki są doliczane co roku, dlatego trzykrotnie stosujemy ten sam mnożnik.

\[K_3=K_0\cdot(1{,}06)^3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[K_0\cdot(1{,}06)^3\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po trzech latach kapitał wynosi 1,191016 kwoty początkowej; wynik uwzględnia odsetki od odsetek.

\[(1{,}06)^3=1{,}191016\]

Zadanie 5

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \(5n^3-5n\) jest podzielna przez \(30\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozkład na czynniki

Wyłączamy 5 i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby otrzymać iloczyn trzech kolejnych liczb.

\[5n^3-5n=5n(n^2-1)=5(n-1)n(n+1)\]

2 Podzielność iloczynu

Wśród trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez 3, a co najmniej jedna jest parzysta. Ponieważ 2 i 3 są względnie pierwsze, ich iloczyn jest podzielny przez 6.

\[6\mid(n-1)n(n+1)\]

3 Wniosek

Mnożenie liczby podzielnej przez 6 przez 5 daje liczbę podzielną przez 30.

\[30\mid 5(n-1)n(n+1)=5n^3-5n\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 5n³ − 5n jest podzielna przez 30.

\[30\mid(5n^3-5n)\quad\text{dla każdego }n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\]

Sprawdzenie

Dla n = 1 otrzymujemy 0, które jest podzielne przez 30. Dla pozostałych dopuszczalnych n iloraz przez 30 jest całkowity, ponieważ jest ilorazem iloczynu trzech kolejnych liczb przez 6.

\[n=1:\ 5n^3-5n=0=30\cdot0;\qquad \frac{5n^3-5n}{30}=\frac{(n-1)n(n+1)}{6}\in\mathbb{Z}\]

Zadanie 6

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności \(\frac{3x-5}{12}<\frac{1}{3}\) jest równa

\(2\)

\(3\)

\(5\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiązanie nierówności

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 12, więc znak nierówności się nie zmienia. Następnie wyznaczamy x.

\[\frac{3x-5}{12}<\frac13\iff 3x-5<4\iff 3x<9\iff x<3\]

2 Policzenie rozwiązań

Spośród dodatnich liczb całkowitych mniejszych od 3 są tylko 1 i 2.

\[x\in\{1,2\},\qquad |\{1,2\}|=2\]

Odpowiedź

Liczba rozwiązań wynosi 2. Odpowiedź A.

\[2\]

Sprawdzenie

Dla x=2 nierówność jest prawdziwa, a dla x=3 zachodzi równość, więc 3 nie jest rozwiązaniem. Większe liczby całkowite też nie spełniają warunku x<3.

\[\frac{3\cdot2-5}{12}=\frac1{12}<\frac13,\qquad \frac{3\cdot3-5}{12}=\frac13\]

Zadanie 7

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układ równań \(\begin{cases}x-2y=3\\-4x+8y=-12\end{cases}\)

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie równań

Mnożymy pierwsze równanie przez \(-4\), aby sprawdzić, czy oba równania opisują tę samą prostą.

\[-4(x-2y)=-4\cdot3\quad\Longrightarrow\quad -4x+8y=-12\]

2 Opis rozwiązań

Drugie równanie wynika z pierwszego, więc wystarczy rozwiązać \(x-2y=3\). Dla każdej liczby rzeczywistej \(t\) możemy przyjąć \(y=t\).

\[y=t,\quad x=3+2t,\quad t\in\mathbb{R}\]

Odpowiedź

D. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

\[(x,y)=(3+2t,t),\quad t\in\mathbb{R}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy w obu równaniach odpowiednio 3 i −12 dla każdego \(t\in\mathbb{R}\). Różne wartości \(t\) dają różne rozwiązania.

\[(3+2t)-2t=3,\qquad -4(3+2t)+8t=-12\]

Zadanie 8

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od: \((-1)\), \(0\) i \(1\), wartość wyrażenia \(\frac{2x^2}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{x}\) jest równa wartości wyrażenia

\(2x+2\)

\(\frac{2x}{x-1}\)

\(\frac{2x}{x^2-1}\)

\(\frac{2x^3+1}{x^3-1}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż mianownik na czynniki

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby wskazać czynniki, które można skrócić.

\[x^2-1=(x-1)(x+1)\]

2 Skróć wyrażenie

Ponieważ \(x\neq 0\) i \(x\neq -1\), możemy skrócić czynniki \(x\) oraz \(x+1\).

\[\frac{2x^2}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x+1}{x}=\frac{2x}{x-1}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{2x}{x-1}\]

Sprawdzenie

Dla dozwolonej wartości \(x=2\) wyrażenie początkowe i odpowiedź B mają tę samą wartość. Po skróceniu pozostaje mianownik \(x-1\), który jest różny od zera zgodnie z warunkiem zadania.

\[\frac{2\cdot 2^2}{2^2-1}\cdot\frac{2+1}{2}=4,\qquad \frac{2\cdot 2}{2-1}=4\]

Zadanie 9

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wielomian \(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=(2-3x)^2\) oraz \(G(x)=3x-2\).

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Suma \(a+b+c+d\) współczynników wielomianu \(W\) jest równa .......... .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastąpienie sumy wartością wielomianu

Po podstawieniu \(x=1\) każda potęga \(x\) jest równa 1, więc \(W(1)=a+b+c+d\).

\[a+b+c+d=W(1)=F(1)G(1)\]

2 Obliczenie wartości

Podstawiamy \(x=1\) do obu czynników.

\[F(1)=(2-3)^2=1,\qquad G(1)=3-2=1,\qquad W(1)=1\cdot1=1\]

Odpowiedź

Suma współczynników jest równa 1.

\[a+b+c+d=1\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(2-3x=-(3x-2)\), mamy \(W(x)=(3x-2)^3=27x^3-54x^2+36x-8\). Suma otrzymanych współczynników wynosi 1.

\[27-54+36-8=1\]

Zadanie 10

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(4x^3-12x^2-x+3=0\).

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Grupowanie wyrazów

Wyłączamy wspólny czynnik z dwóch par wyrazów, aby otrzymać iloczyn.

\[4x^3-12x^2-x+3=4x^2(x-3)-(x-3)=(x-3)(4x^2-1)\]

2 Rozkład i rozwiązanie

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów, a następnie zasadę, że iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zeru.

\[(x-3)(2x-1)(2x+1)=0\quad\Longrightarrow\quad x=3\;\text{lub}\;x=\frac12\;\text{lub}\;x=-\frac12\]

Odpowiedź

Rozwiązania: \(x=-\frac12\), \(x=\frac12\), \(x=3\).

\[x\in\left\{-\frac12,\frac12,3\right\}\]

Sprawdzenie

Dla każdej podanej wartości jeden z czynników rozłożonego wielomianu jest równy zeru. Rozkład jest równoważny wyjściowemu równaniu i obejmuje wszystkie jego pierwiastki.

\[4x^3-12x^2-x+3=(x-3)(2x-1)(2x+1)\]

Zadanie 11.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

Na rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\). Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji \(f\) z prostą o równaniu \(y=2\) ma obie współrzędne całkowite.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\leq 2\) jest przedział ........................ .

Rysunek 1. Wykres funkcji f w układzie współrzędnych, z osiami, oznaczeniami i etykietą y=f(x).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktów przecięcia

Granicami rozwiązań są miejsca, w których wykres przecina prostą \(y=2\). Z rysunku odczytujemy ich całkowite współrzędne.

\[(0,2),\quad(4,2)\]

2 Odczytanie przedziału

Wykres leży na wysokości co najwyżej 2 dla argumentów od 0 do 4. Końce należą do zbioru rozwiązań, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[f(x)\leq 2\iff x\in[0,4]\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział \([0,4]\).

\[[0,4]\]

Sprawdzenie

Na końcach przedziału \(f(0)=f(4)=2\). Między nimi wykres leży poniżej prostej \(y=2\), a w pozostałej części dziedziny powyżej niej.

\[f(0)=2,\quad f(4)=2\]

Zadanie 11.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku 2., w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(g\), powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji \(f\) wzdłuż osi \(Ox\) o 4 jednostki w lewo.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź 1. albo 2.

Funkcje \(f\) i \(g\) są powiązane zależnością … oraz mają takie same …

Rysunek 1. Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi osiami, skalą i punktami końcowymi.

Rysunek 2. Wykres funkcji y=g(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi osiami, skalą i punktami końcowymi.

\(g(x)=f(x+4)\)

\(g(x)=f(x-4)\)

\(g(x)=f(x)-4\)

dziedziny.

zbiory wartości.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zależność między funkcjami

Przesunięcie wykresu o 4 jednostki w lewo oznacza zastąpienie argumentu x przez x+4.

\[g(x)=f(x+4)\]

2 Porównanie zbiorów wartości

Przesunięcie poziome nie zmienia wysokości punktów wykresu. Obie funkcje przyjmują wartości od 0 do 4.

\[W_f=W_g=[0,4]\]

Odpowiedź

Odpowiedzi A i 2: funkcje mają takie same zbiory wartości.

\[g(x)=f(x+4),\qquad W_f=W_g=[0,4]\]

Sprawdzenie

Wierzchołek wykresu f ma współrzędne (1,0), a po przesunięciu o 4 jednostki w lewo otrzymujemy wierzchołek wykresu g: (−3,0). Dziedziny są różne: [−1,7] i [−5,3].

\[1-4=-3,\qquad D_f=[-1,7],\quad D_g=[-5,3]\]

Zadanie 12

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(Oy\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Miejsca zerowe

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero. Z tabeli odczytujemy dwa takie argumenty, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(-1)=0,\quad f(1)=0\]

2 Symetria względem osi Oy

Wykres jest symetryczny względem osi Oy, gdy dla każdego argumentu z dziedziny wartości dla przeciwnych argumentów są równe. Tutaj warunek nie zachodzi, więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(-2)=-1\neq 3=f(2)\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{F},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

W wierszu wartości zero występuje dokładnie przy −1 i 1. Para argumentów −2 i 2 ma różne wartości, co wyklucza symetrię względem osi Oy.

\[\{x:f(x)=0\}=\{-1,1\},\qquad f(-2)\neq f(2)\]

Zadanie 13

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(3-m)x+4\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(m\) jest równa

\(0\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Skoro liczba 2 jest miejscem zerowym, to wartość funkcji dla tego argumentu wynosi 0.

\[f(2)=0\;\Longrightarrow\;2(3-m)+4=0\]

2 Wyznaczenie parametru

Rozwijamy nawias i rozwiązujemy równanie względem m.

\[6-2m+4=0\;\Longrightarrow\;10-2m=0\;\Longrightarrow\;m=5\]

Odpowiedź

Liczba m jest równa 5. Odpowiedź D.

\[m=5\]

Sprawdzenie

Dla m=5 funkcja ma postać f(x)=-2x+4, więc f(2)=0.

\[f(2)=(3-5)\cdot2+4=-4+4=0\]

Zadanie 14

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\), ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych \((x,y)\) dokładnie dwa punkty wspólne: \(M=(0,18)\) oraz \(N=(3,0)\).

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie miejsc zerowych

Parabola przecina oś \(y\) w punkcie \(M\). Ponieważ \(N\) jest jedynym punktem wspólnym z osią \(x\), liczba \(3\) jest podwójnym miejscem zerowym.

\[f(x)=a(x-3)^2,\quad a\ne 0\]

2 Obliczenie współczynnika

Podstawiamy współrzędne punktu \(M=(0,18)\), aby wyznaczyć \(a\).

\[18=f(0)=a(0-3)^2=9a,\quad a=2\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to \(f(x)=2(x-3)^2=2x^2-12x+18\).

\[f(x)=2(x-3)^2=2x^2-12x+18\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(f(0)=18\), więc punkt \(M\) leży na paraboli. Równanie \(f(x)=0\) ma tylko jedno rozwiązanie: \(x=3\). Zatem \(N\) jest jedynym punktem wspólnym z osią \(x\), a łącznie z obiema osiami parabola ma dokładnie dwa wskazane punkty wspólne.

\[f(0)=2\cdot 9=18,\qquad 2(x-3)^2=0\iff x=3\]

Zadanie 15.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x+1)^2+4\).

Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono na rysunku

Wykres paraboli w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wierzchołka

Wzór ma postać kanoniczną, więc wierzchołek paraboli to \((-1,4)\). Znak minus przed kwadratem oznacza, że ramiona są skierowane w dół.

\[f(x)=-(x-(-1))^2+4,\qquad W=(-1,4)\]

2 Wybór rysunku

Spośród podanych wykresów wierzchołek \((-1,4)\) i ramiona skierowane w dół ma rysunek B.

\[\boxed{B}\]

Odpowiedź

Rysunek B.

\[B\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(f(0)=3\), co zgadza się z przecięciem osi \(y\) na rysunku B.

\[f(0)=-(0+1)^2+4=3\]

Zadanie 15.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x+1)^2+4\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Oy\) kartezjańskiego układu współrzędnych \((x,y)\) w punkcie o współrzędnych \((0,4)\).	P	F
Miejsca zerowe funkcji \(f\) są równe: \((-3)\) oraz \(1\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przecięcie z osią Oy

Na osi Oy mamy \(x=0\), więc obliczamy wartość funkcji dla zera. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(0)=-(0+1)^2+4=3\neq 4\]

2 Miejsca zerowe

Przyrównujemy wzór funkcji do zera i rozwiązujemy równanie. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

\[-(x+1)^2+4=0\iff(x+1)^2=4\iff x+1=2\ \text{lub}\ x+1=-2\iff x=1\ \text{lub}\ x=-3\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[F,\ P\]

Sprawdzenie

Punkt przecięcia z osią Oy to (0,3). Dla obu wyznaczonych miejsc zerowych wartość funkcji wynosi zero.

\[f(0)=3,\quad f(-3)=-(-2)^2+4=0,\quad f(1)=-(2)^2+4=0\]

Zadanie 16.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \( (a_n) \) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

\(3\)

\(7\)

\(50\)

\(100\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wyrazów

Dla nieparzystego n potęga ma wartość 1, a dla parzystego −1, więc wyrazy przyjmują naprzemiennie wartości 7 i 3.

\[a_1=2\cdot1+5=7,\qquad a_2=2\cdot(-1)+5=3\]

2 Obliczenie sumy

Dziesięć początkowych wyrazów tworzy pięć par o sumie 10.

\[S_{10}=5(7+3)=50\]

Odpowiedź

C. Suma wynosi 50.

\[S_{10}=50\]

Sprawdzenie

Składniki z potęgą (−1) znoszą się parami, a dziesięć składników równych 5 daje 50.

\[\sum_{n=1}^{10}a_n=2(1-1+1-1+1-1+1-1+1-1)+10\cdot5=50\]

Zadanie 16.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest malejący.	P	F
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie początkowych wyrazów

Obliczamy trzy kolejne wyrazy, aby ocenić oba stwierdzenia.

\[a_1=2\cdot1+5=7,\quad a_2=2\cdot(-1)+5=3,\quad a_3=2\cdot1+5=7\]

2 Ocena monotoniczności

Ciąg malejący musi spełniać nierówność \(a_{n+1}<a_n\) dla każdego \(n\). Tutaj trzeci wyraz jest większy od drugiego.

\[a_3=7>3=a_2\]

3 Ocena geometryczności

W ciągu geometrycznym o niezerowych wyrazach iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Otrzymane ilorazy są różne.

\[\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{7},\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{7}{3}\]

Odpowiedź

Ciąg jest malejący: F. Ciąg jest geometryczny: F.

\[\mathrm{F},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Dla parzystych indeksów wyraz wynosi 3, a dla nieparzystych 7. Wartości powtarzają się naprzemiennie, więc ciąg nie jest malejący, a jego kolejne ilorazy nie są jednakowe.

\[a_{2k}=3,\qquad a_{2k-1}=7\quad(k\geq1)\]

Zadanie 17

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), dane są wyrazy: \(a_1=7\) oraz \(a_2=13\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz \(a_{10}\) jest równy

\((-47)\)

\(52\)

\(61\)

\(67\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała, więc odejmujemy pierwszy wyraz od drugiego.

\[r=a_2-a_1=13-7=6\]

2 Obliczenie dziesiątego wyrazu

Od pierwszego do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy.

\[a_{10}=a_1+9r=7+9\cdot6=61\]

Odpowiedź

Wyraz a₁₀ jest równy 61. Odpowiedź C.

\[a_{10}=61\]

Sprawdzenie

Licząc od drugiego wyrazu, do dziesiątego dodajemy różnicę osiem razy i również otrzymujemy 61.

\[a_{10}=a_2+8r=13+8\cdot6=61\]

Zadanie 18

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((-1,\ 2,\ x)\) jest arytmetyczny.

Trzywyrazowy ciąg \((-1,\ 2,\ y)\) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki

\(x>0\) i \(y>0\)

\(x>0\) i \(y<0\)

\(x<0\) i \(y>0\)

\(x<0\) i \(y<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie x

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała, więc od 2 odejmujemy −1 i dodajemy tę różnicę do 2.

\[2-(-1)=3,\qquad x=2+3=5\]

2 Obliczenie y

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Ponieważ pierwszy wyraz jest różny od zera, obliczamy iloraz i mnożymy przez niego drugi wyraz.

\[q=\frac{2}{-1}=-2,\qquad y=2\cdot(-2)=-4\]

Odpowiedź

x jest dodatnie, a y ujemne. Odpowiedź B.

\[x=5>0,\qquad y=-4<0\]

Sprawdzenie

Różnice w pierwszym ciągu wynoszą 3, a ilorazy w drugim wynoszą −2, więc oba obliczone wyrazy spełniają warunki zadania.

\[2-(-1)=5-2=3,\qquad \frac{2}{-1}=\frac{-4}{2}=-2\]

Zadanie 19

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(1+\cos^2 27^\circ\) jest równa

\(2-\sin^2 27^\circ\)

\(\sin^2 27^\circ\)

\(2+\sin^2 27^\circ\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Korzystamy z tożsamości, aby zastąpić kwadrat cosinusa kwadratem sinusa.

\[\sin^2 27^\circ+\cos^2 27^\circ=1,\quad \cos^2 27^\circ=1-\sin^2 27^\circ\]

2 Przekształcenie wyrażenia

Podstawiamy otrzymaną równość i dodajemy jedynki.

\[1+\cos^2 27^\circ=1+(1-\sin^2 27^\circ)=2-\sin^2 27^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[2-\sin^2 27^\circ\]

Sprawdzenie

Po odjęciu lewej strony od odpowiedzi A otrzymujemy zero na mocy jedynki trygonometrycznej.

\[(2-\sin^2 27^\circ)-(1+\cos^2 27^\circ)=1-(\sin^2 27^\circ+\cos^2 27^\circ)=0\]

Zadanie 20

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Podstawy trapezu prostokątnego \(ABCD\) mają długości: \(|AB|=8\) oraz \(|CD|=5\). Wysokość \(AD\) tego trapezu ma długość \(\sqrt{3}\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

Trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB ma długość 8, podstawa CD ma długość 5, a wysokość AD ma długość √3. Zaznaczono kąty proste przy A i D oraz kąt ostry ABC.

\(15^\circ\)

\(30^\circ\)

\(45^\circ\)

\(60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przyprostokątnej

Opuszczamy z punktu C prostopadłą na AB i oznaczamy jej podstawę przez E. Czworokąt ADCE jest prostokątem, więc AE=CD=5, a CE=AD=√3. Stąd obliczamy BE.

\[BE=AB-AE=8-5=3\]

2 Obliczenie kąta

W trójkącie prostokątnym BCE kąt CBE jest kątem ABC. Korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego.

\[\tan\angle ABC=\frac{CE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ABC ma miarę 30°. Odpowiedź B.

\[\angle ABC=30^\circ\]

Sprawdzenie

Dla kąta 30° stosunek przeciwległej przyprostokątnej do przyległej wynosi √3/3, dokładnie tyle co CE/BE=√3/3. Kąt jest ostry, zgodnie z rysunkiem.

\[\frac{CE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Zadanie 21

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Długość łuku \(AB\), na którym jest oparty kąt wpisany \(ACB\), jest równa \(\frac{1}{5}\) długości okręgu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(ACB\) jest równa

Okrąg o środku S z punktami A, B i C na okręgu oraz zaznaczonym kątem wpisanym ACB.

\(18^\circ\)

\(30^\circ\)

\(36^\circ\)

\(72^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie miary łuku

Cały okrąg ma miarę \(360^\circ\), więc łuk stanowiący \(\frac{1}{5}\) okręgu ma miarę:

\[\frac{1}{5}\cdot 360^\circ=72^\circ\]

2 Obliczenie kąta wpisanego

Kąt wpisany ma miarę równą połowie miary łuku, na którym jest oparty.

\[\angle ACB=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ\]

Odpowiedź

Kąt \(ACB\) ma miarę \(36^\circ\). Odpowiedź C.

\[\angle ACB=36^\circ\]

Sprawdzenie

Podwojenie otrzymanej miary kąta daje \(72^\circ\), czyli \(\frac{1}{5}\) pełnego kąta. Wynik jest kątem ostrym.

\[2\cdot36^\circ=72^\circ=\frac{1}{5}\cdot360^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Bok kwadratu \(ABCD\) ma długość równą 12. Punkt \(S\) jest środkiem boku \(BC\) tego kwadratu. Na odcinku \(AS\) leży punkt \(P\) taki, że odcinek \(BP\) jest prostopadły do odcinka \(AS\).

Oblicz długość odcinka \(BP\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości BS

Punkt S jest środkiem boku BC, więc dzieli bok długości 12 na połowy.

\[BS=\frac{12}{2}=6\]

2 Obliczenie długości AS

Trójkąt ABS jest prostokątny w B, dlatego stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AS=\sqrt{AB^2+BS^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}\]

3 Obliczenie długości BP

Pole trójkąta ABS liczymy na dwa sposoby. Odcinek BP jest wysokością opuszczoną na AS.

\[\frac{AB\cdot BS}{2}=\frac{AS\cdot BP}{2},\qquad BP=\frac{12\cdot6}{6\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\]

Odpowiedź

Długość odcinka BP wynosi \(\frac{12\sqrt{5}}{5}\).

\[BP=\frac{12\sqrt{5}}{5}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej długości pole obliczone z podstawy AS jest równe polu obliczonemu z przyprostokątnych AB i BS: oba wynoszą 36.

\[\frac{6\sqrt{5}\cdot\frac{12\sqrt{5}}{5}}{2}=36=\frac{12\cdot6}{2}\]

Zadanie 23.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \[(x-1)^2+(y+2)^2=5.\]

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Do okręgu \(\mathcal{O}\) należy punkt o współrzędnych \((-1,-3)\).	P	F
Promień okręgu \(\mathcal{O}\) jest równy 5.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie punktu

Podstawiamy współrzędne punktu do równania okręgu. Otrzymujemy prawdziwą równość, więc punkt należy do okręgu.

\[(-1-1)^2+(-3+2)^2=4+1=5\]

2 Wyznaczenie promienia

W równaniu okręgu prawa strona jest kwadratem promienia, a promień jest dodatni.

\[r^2=5\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{5}\neq 5\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\boxed{\mathrm{P},\ \mathrm{F}}\]

Sprawdzenie

Odległość punktu od środka (1,−2) wynosi √5, czyli dokładnie tyle, ile promień. Gdyby promień wynosił 5, jego kwadrat wynosiłby 25, a nie 5.

\[\sqrt{(-1-1)^2+(-3+2)^2}=\sqrt{5},\qquad 5^2=25\neq 5\]

Zadanie 23.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu

\[(x-1)^2+(y+2)^2=5\]

Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(\mathcal{K}\) jest określony równaniem

\((x-1)^2+(y+2)^2=5\)

\((x+1)^2+(y+2)^2=5\)

\((x-1)^2+(y-2)^2=5\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka i promienia

Z postaci równania okręgu odczytujemy jego środek i promień.

\[S=(1,-2),\qquad r=\sqrt{5}\]

2 Odbicie okręgu

Symetria środkowa względem początku zmienia znaki obu współrzędnych środka, a promień pozostawia bez zmian.

\[S'=(-1,2),\qquad (x+1)^2+(y-2)^2=5\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[(x+1)^2+(y-2)^2=5\]

Sprawdzenie

Punkt (2,0) należy do okręgu wyjściowego. Jego obraz (−2,0) spełnia otrzymane równanie.

\[(2-1)^2+(0+2)^2=5,\qquad (-2+1)^2+(0-2)^2=5\]

Zadanie 24

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).

Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek symetralnej

Punkt P leży na osi Ox, więc ma postać (p,0). Jako punkt symetralnej odcinka AB jest równo odległy od A i B.

\[P=(p,0),\qquad PA^2=PB^2\]

2 Współrzędne punktu P

Podstawiamy współrzędne do wzoru na kwadrat odległości i rozwiązujemy równanie.

\[(p-2)^2+8^2=(p-10)^2+2^2\quad\Longrightarrow\quad p^2-4p+68=p^2-20p+104\quad\Longrightarrow\quad 16p=36\quad\Longrightarrow\quad p=\frac94\]

3 Długość odcinka AP

Stosujemy wzór na odległość punktów i upraszczamy pierwiastek.

\[AP=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{\sqrt{1025}}4=\frac{5\sqrt{41}}4\]

Odpowiedź

Punkt P ma współrzędne (9/4, 0), a długość odcinka AP wynosi 5√41/4.

\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad AP=\frac{5\sqrt{41}}4\]

Sprawdzenie

P leży na osi Ox. Obliczenie odległości od B daje ten sam wynik co od A, więc P należy do symetralnej AB.

\[PB^2=\left(\frac94-10\right)^2+(0-2)^2=\frac{961}{16}+4=\frac{1025}{16}=PA^2\]

Zadanie 25

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Ostrosłup prawidłowy ma \(2024\) ściany boczne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

\(2025\)

\(2026\)

\(4048\)

\(4052\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal liczbę boków podstawy

Każdej ścianie bocznej odpowiada jeden bok podstawy, więc podstawa ma 2024 boki i 2024 wierzchołki.

\[n=2024\]

2 Policz krawędzie

Ostrosłup ma po jednej krawędzi podstawy na każdy jej bok oraz po jednej krawędzi bocznej na każdy jej wierzchołek.

\[n+n=2\cdot2024=4048\]

Odpowiedź

C. Liczba wszystkich krawędzi wynosi 4048.

\[4048\]

Sprawdzenie

Podstawa ma 2024 krawędzie, a z jej 2024 wierzchołków biegnie po jednej krawędzi do wierzchołka ostrosłupa. Razem daje to 4048 krawędzi.

\[2024+2024=4048\]

Zadanie 26

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2\sqrt{2}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego sześcianu jest równa

\(8\)

\(24\)

\(\frac{16\sqrt{6}}{9}\)

\(16\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie krawędzi

Ściana sześcianu jest kwadratem, więc z twierdzenia Pitagorasa jej przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\).

\[a\sqrt{2}=2\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad a=2\]

2 Obliczenie objętości

Objętość sześcianu to sześcian długości jego krawędzi.

\[V=a^3=2^3=8\]

Odpowiedź

Objętość wynosi 8. Odpowiedź A.

\[V=8\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi długości 2 przekątna ściany ma długość \(\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\), zgodnie z treścią zadania.

\[\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]

Zadanie 27

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\operatorname{tg}\alpha=2\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z bokami podstawy oznaczonymi 4, zaznaczoną przekątną graniastosłupa, jej rzutem na podstawę i kątem α między nimi.

\(2\)

\(8\)

\(8\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Rzut przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu. Obliczamy ją z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\]

2 Wysokość graniastosłupa

Kąt między przekątną graniastosłupa a jej rzutem na podstawę ma miarę \(\alpha\). W powstałym trójkącie prostokątnym tangens jest ilorazem wysokości i przekątnej podstawy.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{d}=2\quad\Rightarrow\quad h=2\cdot4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość graniastosłupa wynosi \(8\sqrt{2}\). Odpowiedź C.

\[h=8\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Iloraz obliczonej wysokości i przekątnej podstawy wynosi \(2\), zgodnie z warunkiem zadania.

\[\frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=2=\operatorname{tg}\alpha\]

Zadanie 28

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Diagram słupkowy. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 10. Słupki dla ocen 1, 2, 3, 4, 5 i 6 mają wysokości odpowiednio 2, 9, 5, 3, 5 i 1.

\(3\)

\(3{,}12\)

\(3{,}5\)

\(4{,}1(6)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt liczby uczniów

Z diagramu odczytujemy, ilu uczniów otrzymało każdą ocenę, i sumujemy te liczby.

\[N=2+9+5+3+5+1=25\]

2 Obliczenie średniej

Każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją otrzymali. Sumę tych iloczynów dzielimy przez liczbę wszystkich uczniów.

\[\overline{x}=\frac{1\cdot2+2\cdot9+3\cdot5+4\cdot3+5\cdot5+6\cdot1}{25}=\frac{78}{25}=3{,}12\]

Odpowiedź

Średnia wynosi 3,12. Odpowiedź B.

\[\overline{x}=3{,}12\]

Sprawdzenie

Iloczyn otrzymanej średniej i liczby uczniów wynosi 78, tyle samo co suma wszystkich ocen.

\[3{,}12\cdot25=78\]

Zadanie 29

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(2\), \(4\), \(7\) (np.: \(7272\), \(2222\), \(7244\)), jest

\(16\)

\(27\)

\(54\)

\(81\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór ostatniej cyfry

Liczba jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta. Spośród podanych cyfr są to 2 i 4.

\[2\text{ możliwości}\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Na każdym z trzech pozostałych miejsc można niezależnie wpisać 2, 4 lub 7. Żadna z tych cyfr nie jest zerem, więc każda otrzymana liczba jest czterocyfrowa.

\[3\cdot3\cdot3\cdot2=54\]

Odpowiedź

54 liczby, odpowiedź C.

\[54\]

Sprawdzenie

Wszystkich zapisów z podanych cyfr jest 81. Spośród nich 27 kończy się cyfrą 7, więc jest nieparzystych. Pozostałe 54 spełniają warunek.

\[3^4-3^3=81-27=54\]

Zadanie 30

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest \(18\). Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe \(\frac{3}{5}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa

\(9\)

\(12\)

\(15\)

\(30\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby wszystkich kul

Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli to liczba kul czarnych podzielona przez liczbę wszystkich kul. Oznaczamy liczbę wszystkich kul przez N.

\[\frac{18}{N}=\frac{3}{5},\qquad 3N=90,\qquad N=30\]

2 Obliczenie liczby kul białych

W pudełku są tylko kule czarne i białe, więc od liczby wszystkich kul odejmujemy 18 kul czarnych.

\[30-18=12\]

Odpowiedź

W pudełku było 12 kul białych. Odpowiedź B.

\[12\]

Sprawdzenie

Przy 12 kulach białych wszystkich kul jest 30, a prawdopodobieństwo wylosowania czarnej wynosi zgodnie z treścią 3/5.

\[\frac{18}{18+12}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\]

Zadanie 31

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wszystkie wyniki

W każdym rzucie jest 6 możliwości, więc liczba jednakowo prawdopodobnych uporządkowanych wyników wynosi:

\[6\cdot 6=36\]

2 Policz wyniki sprzyjające

Gdy w pierwszym rzucie wypadnie kolejno 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek, liczba mniejszych wyników drugiego rzutu wynosi odpowiednio 0, 1, 2, 3, 4 lub 5.

\[|A|=0+1+2+3+4+5=15\]

3 Oblicz prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 5/12.

\[P(A)=\frac{5}{12}\]

Sprawdzenie

Jest 6 remisów i 15 wyników, w których pierwszy rzut jest mniejszy od drugiego. Łącznie daje to 15 + 6 + 15 = 36 wyników, więc rachunek obejmuje wszystkie możliwości.

\[15+6+15=36\]

Zadanie 32.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o \(x\) zł, wyraża się wzorem

\[P(x)=(70-x)(20+x)\]

gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\geq 0\) i \(x\leq 60\).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba \(x\) jest równa

\(25\)

\(30\)

\(45\)

\(50\)

\(60\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uzupełnienie kwadratu

Przekształcamy wzór, aby ustalić, kiedy przychód osiąga największą wartość.

\[P(x)=(70-x)(20+x)=1400+50x-x^2=2025-(x-25)^2\]

2 Wyznaczenie maksimum

Kwadrat jest nieujemny, więc przychód jest największy, gdy kwadrat jest równy zeru. Wartość 25 jest całkowita i należy do przedziału od 0 do 60.

\[(x-25)^2=0\iff x=25\]

Odpowiedź

Liczba x jest równa 25, czyli obniżka wynosi 25 zł. Odpowiedź A.

\[x=25,\quad P_{\max}=2025\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Dla x=25 przychód wynosi 2025 zł. Każda inna dopuszczalna wartość x daje dodatni kwadrat, więc przychód jest mniejszy.

\[P(25)=(70-25)(20+25)=2025,\qquad x\ne25\implies P(x)=2025-(x-25)^2<2025\]

Zadanie 32.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte

Równania i nierówności

\[P(x)=(70-x)(20+x)\]

gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\geq 0\) i \(x\leq 60\).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w pustą komórkę właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

32.2.	Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy \(800\) zł, gdy liczba \(x\) jest równa

\(25\)

\(30\)

\(45\)

\(50\)

\(60\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

Szukamy obniżki, przy której dzienny przychód wynosi 800 zł.

\[(70-x)(20+x)=800\]

2 Rozwiąż równanie

Rozwijamy iloczyn i rozkładamy otrzymany trójmian na czynniki.

\[1400+50x-x^2=800\iff x^2-50x-600=0\iff(x-60)(x+10)=0\iff x=60\ \text{lub}\ x=-10\]

3 Uwzględnij warunek

Obniżka musi być liczbą całkowitą od 0 do 60, więc odrzucamy wartość ujemną.

\[x=60\]

Odpowiedź

Obniżka wynosi 60 zł. Odpowiedź E.

\[x=60\ \text{zł}\quad(\mathrm{E})\]

Sprawdzenie

Liczba 60 jest całkowita i należy do przedziału od 0 do 60. Po podstawieniu przychód wynosi 800 zł.

\[P(60)=(70-60)(20+60)=10\cdot80=800\ \text{zł}\]