Zamknięte1 pkt
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układ równań \(\begin{cases}x-2y=3\\-4x+8y=-12\end{cases}\)
A
nie ma rozwiązań.
B
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C
ma dokładnie dwa rozwiązania.
D
ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Porównanie równań
Mnożymy pierwsze równanie przez \(-4\), aby sprawdzić, czy oba równania opisują tę samą prostą.
\[-4(x-2y)=-4\cdot3\quad\Longrightarrow\quad -4x+8y=-12\]
2 Opis rozwiązań
Drugie równanie wynika z pierwszego, więc wystarczy rozwiązać \(x-2y=3\). Dla każdej liczby rzeczywistej \(t\) możemy przyjąć \(y=t\).
\[y=t,\quad x=3+2t,\quad t\in\mathbb{R}\]
Odpowiedź
D. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
\[(x,y)=(3+2t,t),\quad t\in\mathbb{R}\]
Sprawdzenie
Po podstawieniu otrzymujemy w obu równaniach odpowiednio 3 i −12 dla każdego \(t\in\mathbb{R}\). Różne wartości \(t\) dają różne rozwiązania.
\[(3+2t)-2t=3,\qquad -4(3+2t)+8t=-12\]