Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \(5n^3-5n\) jest podzielna przez \(30\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Rozkład na czynniki
Wyłączamy 5 i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby otrzymać iloczyn trzech kolejnych liczb.
\[5n^3-5n=5n(n^2-1)=5(n-1)n(n+1)\]
2 Podzielność iloczynu
Wśród trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez 3, a co najmniej jedna jest parzysta. Ponieważ 2 i 3 są względnie pierwsze, ich iloczyn jest podzielny przez 6.
\[6\mid(n-1)n(n+1)\]
3 Wniosek
Mnożenie liczby podzielnej przez 6 przez 5 daje liczbę podzielną przez 30.
\[30\mid 5(n-1)n(n+1)=5n^3-5n\]
Odpowiedź
Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 5n³ − 5n jest podzielna przez 30.
\[30\mid(5n^3-5n)\quad\text{dla każdego }n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\]
Sprawdzenie
Dla n = 1 otrzymujemy 0, które jest podzielne przez 30. Dla pozostałych dopuszczalnych n iloraz przez 30 jest całkowity, ponieważ jest ilorazem iloczynu trzech kolejnych liczb przez 6.
\[n=1:\ 5n^3-5n=0=30\cdot0;\qquad \frac{5n^3-5n}{30}=\frac{(n-1)n(n+1)}{6}\in\mathbb{Z}\]