Zamknięte1 pkt
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Ciąg \((a_n)\) jest malejący. | P | F |
| Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny. | P | F |
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie początkowych wyrazów
Obliczamy trzy kolejne wyrazy, aby ocenić oba stwierdzenia.
\[a_1=2\cdot1+5=7,\quad a_2=2\cdot(-1)+5=3,\quad a_3=2\cdot1+5=7\]
2 Ocena monotoniczności
Ciąg malejący musi spełniać nierówność \(a_{n+1}<a_n\) dla każdego \(n\). Tutaj trzeci wyraz jest większy od drugiego.
\[a_3=7>3=a_2\]
3 Ocena geometryczności
W ciągu geometrycznym o niezerowych wyrazach iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Otrzymane ilorazy są różne.
\[\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{7},\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{7}{3}\]
Odpowiedź
Ciąg jest malejący: F. Ciąg jest geometryczny: F.
\[\mathrm{F},\ \mathrm{F}\]
Sprawdzenie
Dla parzystych indeksów wyraz wynosi 3, a dla nieparzystych 7. Wartości powtarzają się naprzemiennie, więc ciąg nie jest malejący, a jego kolejne ilorazy nie są jednakowe.
\[a_{2k}=3,\qquad a_{2k-1}=7\quad(k\geq1)\]