Otwarte2 pkt
Bok kwadratu \(ABCD\) ma długość równą 12. Punkt \(S\) jest środkiem boku \(BC\) tego kwadratu. Na odcinku \(AS\) leży punkt \(P\) taki, że odcinek \(BP\) jest prostopadły do odcinka \(AS\).
Oblicz długość odcinka \(BP\). Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie długości BS
Punkt S jest środkiem boku BC, więc dzieli bok długości 12 na połowy.
\[BS=\frac{12}{2}=6\]
2 Obliczenie długości AS
Trójkąt ABS jest prostokątny w B, dlatego stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
\[AS=\sqrt{AB^2+BS^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}\]
3 Obliczenie długości BP
Pole trójkąta ABS liczymy na dwa sposoby. Odcinek BP jest wysokością opuszczoną na AS.
\[\frac{AB\cdot BS}{2}=\frac{AS\cdot BP}{2},\qquad BP=\frac{12\cdot6}{6\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\]
Odpowiedź
Długość odcinka BP wynosi \(\frac{12\sqrt{5}}{5}\).
\[BP=\frac{12\sqrt{5}}{5}\]
Sprawdzenie
Dla otrzymanej długości pole obliczone z podstawy AS jest równe polu obliczonemu z przyprostokątnych AB i BS: oba wynoszą 36.
\[\frac{6\sqrt{5}\cdot\frac{12\sqrt{5}}{5}}{2}=36=\frac{12\cdot6}{2}\]