Zamknięte1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \[(x-1)^2+(y+2)^2=5.\]
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Do okręgu \(\mathcal{O}\) należy punkt o współrzędnych \((-1,-3)\). | P | F |
| Promień okręgu \(\mathcal{O}\) jest równy 5. | P | F |
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Sprawdzenie punktu
Podstawiamy współrzędne punktu do równania okręgu. Otrzymujemy prawdziwą równość, więc punkt należy do okręgu.
\[(-1-1)^2+(-3+2)^2=4+1=5\]
2 Wyznaczenie promienia
W równaniu okręgu prawa strona jest kwadratem promienia, a promień jest dodatni.
\[r^2=5\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{5}\neq 5\]
Odpowiedź
Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.
\[\boxed{\mathrm{P},\ \mathrm{F}}\]
Sprawdzenie
Odległość punktu od środka (1,−2) wynosi √5, czyli dokładnie tyle, ile promień. Gdyby promień wynosił 5, jego kwadrat wynosiłby 25, a nie 5.
\[\sqrt{(-1-1)^2+(-3+2)^2}=\sqrt{5},\qquad 5^2=25\neq 5\]