Otwarte4 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).
Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\). Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Warunek symetralnej
Punkt P leży na osi Ox, więc ma postać (p,0). Jako punkt symetralnej odcinka AB jest równo odległy od A i B.
\[P=(p,0),\qquad PA^2=PB^2\]
2 Współrzędne punktu P
Podstawiamy współrzędne do wzoru na kwadrat odległości i rozwiązujemy równanie.
\[(p-2)^2+8^2=(p-10)^2+2^2\quad\Longrightarrow\quad p^2-4p+68=p^2-20p+104\quad\Longrightarrow\quad 16p=36\quad\Longrightarrow\quad p=\frac94\]
3 Długość odcinka AP
Stosujemy wzór na odległość punktów i upraszczamy pierwiastek.
\[AP=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{\sqrt{1025}}4=\frac{5\sqrt{41}}4\]
Odpowiedź
Punkt P ma współrzędne (9/4, 0), a długość odcinka AP wynosi 5√41/4.
\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad AP=\frac{5\sqrt{41}}4\]
Sprawdzenie
P leży na osi Ox. Obliczenie odległości od B daje ten sam wynik co od A, więc P należy do symetralnej AB.
\[PB^2=\left(\frac94-10\right)^2+(0-2)^2=\frac{961}{16}+4=\frac{1025}{16}=PA^2\]