Zadanie 27 — matura 2024, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\operatorname{tg}\alpha=2\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z bokami podstawy oznaczonymi 4, zaznaczoną przekątną graniastosłupa, jej rzutem na podstawę i kątem α między nimi.

\(2\)

\(8\)

\(8\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Rzut przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu. Obliczamy ją z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\]

2 Wysokość graniastosłupa

Kąt między przekątną graniastosłupa a jej rzutem na podstawę ma miarę \(\alpha\). W powstałym trójkącie prostokątnym tangens jest ilorazem wysokości i przekątnej podstawy.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{d}=2\quad\Rightarrow\quad h=2\cdot4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość graniastosłupa wynosi \(8\sqrt{2}\). Odpowiedź C.

\[h=8\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Iloraz obliczonej wysokości i przekątnej podstawy wynosi \(2\), zgodnie z warunkiem zadania.

\[\frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=2=\operatorname{tg}\alpha\]