Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2025

Poziom podstawowyCzerwiecFormuła 2023

Zobacz zadania i rozwiązania 39 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

39 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczby $x_1$ i $x_2$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x-6|=4$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn $x_1\cdot x_2$ jest równy

$4$

$20$

$24$

$100$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Wartość bezwzględna jest równa 4, gdy wyrażenie pod nią jest równe 4 albo −4.

\[|x-6|=4\iff x-6=4\ \text{lub}\ x-6=-4\iff x=10\ \text{lub}\ x=2\]

2 Obliczenie iloczynu

Mnożymy oba różne rozwiązania równania.

\[x_1\cdot x_2=10\cdot 2=20\]

Odpowiedź

20, odpowiedź B.

\[x_1\cdot x_2=20\]

Sprawdzenie

Dla obu liczb wartość bezwzględna wynosi 4, a ich iloczyn wynosi 20.

\[|10-6|=4,\quad |2-6|=4,\quad 10\cdot 2=20\]

Zadanie 2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $256\cdot\sqrt[3]{8^2}$ jest równa

$2^8$

$2^{10}$

$2^{16}$

$2^{36}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczb jako potęg dwójki

Aby skorzystać z reguły mnożenia potęg o tej samej podstawie, zapisujemy 256 i 8 jako potęgi liczby 2.

\[256=2^8,\qquad 8=2^3\]

2 Obliczenie pierwiastka i iloczynu

Pierwiastek sześcienny z potęgi szóstej dwójki to jej kwadrat. Następnie dodajemy wykładniki mnożonych potęg.

\[256\cdot\sqrt[3]{8^2}=2^8\cdot\sqrt[3]{2^6}=2^8\cdot2^2=2^{10}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{10}\]

Sprawdzenie

Pierwiastek sześcienny z 64 wynosi 4, więc wyrażenie ma wartość 1024, czyli tyle samo co $2^{10}$.

\[256\cdot\sqrt[3]{64}=256\cdot4=1024=2^{10}\]

Zadanie 3

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Iloczyn $2\cdot\log_3 5$ jest równy $\log_3 25$.	P	F
Suma $2+\log_3 5$ jest równa $\log_3 10$.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Iloczyn

Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi.

\[2\log_3 5=\log_3(5^2)=\log_3 25\]

2 Suma

Zapisujemy 2 jako logarytm o podstawie 3, a następnie stosujemy wzór na logarytm iloczynu.

\[2+\log_3 5=\log_3 9+\log_3 5=\log_3 45\ne\log_3 10\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

Sprawdzenie

Ponieważ 25=5², pierwsza równość zachodzi. W drugiej równości otrzymujemy logarytm z 45, a 45≠10.

\[3^2\cdot 5=45\ne 10\]

Zadanie 4

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $(\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}$ jest równa

$4-4\sqrt{3}$

$4-2\sqrt{3}$

$2$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwinięcie kwadratu

Stosujemy wzór na kwadrat sumy.

\[(\sqrt{3}+1)^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}\]

2 Uproszczenie pierwiastka

Wyłączamy czynnik 4 spod pierwiastka, aby odjąć wyrazy podobne.

\[\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3},\qquad 4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu uproszczonego pierwiastka składniki z pierwiastkiem się znoszą, więc otrzymujemy 4.

\[(\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}=4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\]

Zadanie 5

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$, i dla każdej liczby całkowitej $b$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$, liczba $a^2-b^2$ jest podzielna przez $5$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz liczby z podanymi resztami

Z definicji reszty z dzielenia istnieją liczby całkowite k i l o podanej postaci.

\[a=5k+1,\qquad b=5l+4,\qquad k,l\in\mathbb{Z}\]

2 Zastosuj wzór na różnicę kwadratów

Suma a i b jest wielokrotnością 5, więc jeden z czynników iloczynu jest podzielny przez 5.

\[a+b=5(k+l+1),\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)=5(a-b)(k+l+1)\]

Odpowiedź

Dla każdej pary liczb spełniających warunki zadania liczba $a^2-b^2$ jest podzielna przez $5$.

\[5\mid(a^2-b^2)\]

Sprawdzenie

Liczba $(a-b)(k+l+1)$ jest całkowita, więc otrzymany iloczyn rzeczywiście jest wielokrotnością $5$.

\[\frac{a^2-b^2}{5}=(a-b)(k+l+1)\in\mathbb{Z}\]

Zadanie 6

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dana jest nierówność $8-\frac{1-2x}{2}\geq 3x$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa liczba całkowita, która spełnia tę nierówność, jest

$1$

$2$

$3$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie nierówności

Usuwamy nawias, aby zebrać wyrazy z niewiadomą po jednej stronie.

\[8-\frac{1-2x}{2}\geq 3x\iff \frac{15}{2}+x\geq 3x\iff \frac{15}{2}\geq 2x\]

2 Wyznaczenie zakresu rozwiązań

Dzielimy obie strony przez dodatnią liczbę 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[x\leq\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\]

Odpowiedź

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest 3. Odpowiedź C.

\[x=3\quad\text{(C)}\]

Sprawdzenie

Liczba 3 spełnia nierówność, a następna liczba całkowita, 4, jej nie spełnia.

\[3\leq\frac{15}{4},\qquad 4>\frac{15}{4}\]

Zadanie 7

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $4(x-1)^2(x^2-25)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

dwa rozwiązania.

trzy rozwiązania.

cztery rozwiązania.

pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru. Liczba 4 nie jest zerem.

\[(x-1)^2=0\quad\text{lub}\quad x^2-25=0\]

2 Rozwiązanie równań

Pierwsze równanie daje jeden pierwiastek. Drugie rozwiązujemy jako różnicę kwadratów.

\[x=1\quad\text{lub}\quad (x-5)(x+5)=0,\quad\text{czyli}\quad x=5\ \text{lub}\ x=-5\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania. Odpowiedź B.

\[x\in\{-5,1,5\}\]

Sprawdzenie

Liczby −5, 1 i 5 są różne. Dla każdej z nich jeden z czynników równania jest zerem; wyczerpują one wszystkie możliwości wynikające z rozkładu na czynniki.

\[4(x-1)^2(x-5)(x+5)=0\]

Zadanie 8

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie liczby drzew

Niech x oznacza liczbę drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a y — w drugim. Razem posadzono 1410 drzew.

\[x+y=1410\]

2 Liczba drzew po roku

W pierwszym sadzie pozostało 80% drzew, a w drugim 85%. Liczba drzew w drugim sadzie stanowiła wtedy 70% liczby drzew w pierwszym.

\[0{,}85y=0{,}70\cdot 0{,}80x=0{,}56x\]

3 Rozwiązanie układu

Wyznaczamy y z pierwszego równania i podstawiamy do drugiego, aby obliczyć x.

\[y=1410-x,\qquad 0{,}85(1410-x)=0{,}56x,\qquad 1198{,}5=1{,}41x,\qquad x=850\]

Odpowiedź

W pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.

\[850\ \text{drzew}\]

Sprawdzenie

W drugim sadzie posadzono 560 drzew, więc łącznie posadzono 1410. Po roku pozostało odpowiednio 680 i 476 drzew, a 476 stanowi 70% z 680.

\[850+560=1410,\qquad 0{,}80\cdot850=680,\qquad 0{,}85\cdot560=476=0{,}70\cdot680\]

Zadanie 9

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rozwiąż nierówność

$x(x+4) \lt x-2$

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Sprowadzamy nierówność do postaci, w której można zbadać znak trójmianu kwadratowego.

\[x(x+4)<x-2\iff x^2+3x+2<0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Miejsca zerowe czynników wyznaczają granice przedziałów, w których iloczyn może zmieniać znak.

\[x^2+3x+2=(x+1)(x+2),\qquad x=-2\ \text{lub}\ x=-1\]

3 Wyznacz przedział rozwiązania

Iloczyn dwóch czynników jest ujemny między miejscami zerowymi. Końców nie włączamy, ponieważ nierówność jest ostra.

\[(x+1)(x+2)<0\iff -2<x<-1\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział $(-2,-1)$.

\[x\in(-2,-1)\]

Sprawdzenie

Dla liczby −3/2 leżącej w tym przedziale różnica stron nierówności wynosi −1/4, więc nierówność zachodzi. Dla −2 i −1 różnica wynosi zero, dlatego końce przedziału nie należą do rozwiązania.

\[x(x+4)-(x-2)\big|_{x=-\frac32}=-\frac14<0,\qquad (x+1)(x+2)\big|_{x=-2}=0,\qquad (x+1)(x+2)\big|_{x=-1}=0\]

Zadanie 10.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla }x\in(-5,-2]\\0 & \text{dla }x\in(-2,1]\\x & \text{dla }x\in(1,3]\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział ……………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi końcami przedziałów

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz przedziały

Dziedzinę tworzą wszystkie wartości x, dla których podano wzór funkcji. Trzy przedziały łączą się bez przerw.

\[(-5,-2]\cup(-2,1]\cup(1,3]=(-5,3]\]

Odpowiedź

Dziedziną funkcji f jest przedział (-5,3].

\[D_f=(-5,3]\]

Sprawdzenie

Liczba -5 jest wyłączona, a 3 włączona. Punkty -2 i 1 należą do dziedziny, więc wewnątrz przedziału nie ma luk.

\[-5\notin D_f,\quad -2\in D_f,\quad 1\in D_f,\quad 3\in D_f\]

Zadanie 10.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla } x\in(-5,-2],\\0 & \text{dla } x\in(-2,1],\\x & \text{dla } x\in(1,3].\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ……………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, oznaczeniami i etykietą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wartości części funkcji

Sprawdzamy wartości na każdym przedziale dziedziny, uwzględniając, czy końce przedziałów należą do dziedziny.

\[x\in(-5,-2]\Rightarrow -x-2\in[0,3),\qquad x\in(-2,1]\Rightarrow f(x)=0,\qquad x\in(1,3]\Rightarrow f(x)\in(1,3].\]

2 Połączenie zbiorów wartości

Bierzemy sumę wartości uzyskanych we wszystkich trzech częściach funkcji.

\[[0,3)\cup\{0\}\cup(1,3]=[0,3].\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości funkcji jest przedział od 0 do 3, wraz z końcami.

\[[0,3]\]

Sprawdzenie

Wartość 0 jest osiągana dla x = −2, a wartość 3 dla x = 3. Pierwsza część daje wszystkie wartości od 0 do 3 bez 3, więc w zbiorze wartości nie ma luk.

\[f(-2)=0,\qquad f(3)=3.\]

Zadanie 10.3

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla } x\in(-5,-2] \\ 0 & \text{dla } x\in(-2,1] \\ x & \text{dla } x\in(1,3]\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji $f$ jest przedział ……………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Miejsca zerowe to argumenty, dla których wartość funkcji wynosi 0. W pierwszej części wzoru otrzymujemy x=-2, który należy do jej przedziału. W drugiej części funkcja ma wartość 0 dla każdego argumentu z podanego przedziału.

\[-x-2=0\iff x=-2,\qquad \{-2\}\cup(-2,1]=[-2,1]\]

2 Sprawdzenie ostatniej części

Dla x z przedziału (1,3] mamy f(x)=x>0, więc nie ma tam miejsc zerowych.

\[x\in(1,3]\implies f(x)=x>0\]

Odpowiedź

Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji jest przedział [-2,1].

\[[-2,1]\]

Sprawdzenie

Na końcach otrzymanego przedziału funkcja ma wartość 0: f(-2)=0 z pierwszej części wzoru, a f(1)=0 z drugiej. Wszystkie argumenty pomiędzy nimi należą do części, w której f(x)=0.

\[f(-2)=-(-2)-2=0,\qquad f(1)=0\]

Zadanie 10.4

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla } x\in(-5,-2]\\0 & \text{dla } x\in(-2,1]\\x & \text{dla } x\in(1,3]\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)<f(-3)$ jest przedział ……………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczeniami osi i końców przedziałów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości odniesienia

Ponieważ $-3\in(-5,-2]$, korzystamy z pierwszego wzoru funkcji.

\[f(-3)=-(-3)-2=1\]

2 Rozwiązanie nierówności

W pierwszym przedziale rozwiązujemy nierówność $-x-2<1$. W drugim funkcja ma wartość $0<1$, a w trzecim $f(x)=x>1$.

\[-x-2<1\iff x>-3;\qquad (-3,-2]\cup(-2,1]=(-3,1]\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział $(-3,1]$.

\[(-3,1]\]

Sprawdzenie

Punkt $x=-3$ jest wykluczony, bo $f(-3)=1$, natomiast $x=1$ należy do zbioru, bo $f(1)=0<1$. Dla $x>1$ mamy $f(x)=x>1$.

\[f(-3)=1,\qquad f(1)=0<1\]

Zadanie 11

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{1}{2}x-k$, gdzie $k$ jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji $f$ jest liczbą większą od $2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $k$ należy do przedziału

$(\! -\infty,-1)$

$(-1,0)$

$(0,1)$

$(1,+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsca zerowego

Przyrównujemy wartość funkcji do zera i rozwiązujemy równanie względem x.

\[\frac{1}{2}x-k=0\quad\Longrightarrow\quad x=2k\]

2 Zastosowanie warunku

Miejsce zerowe jest większe od 2, więc rozwiązujemy odpowiednią nierówność.

\[2k>2\quad\Longrightarrow\quad k>1\]

Odpowiedź

Odpowiedź D. Liczba k należy do przedziału (1,+∞).

\[k\in(1,+\infty)\]

Sprawdzenie

Dla każdego k>1 miejsce zerowe wynosi 2k>2, więc otrzymany przedział spełnia warunek zadania.

\[k>1\quad\Longrightarrow\quad x_0=2k>2\]

Zadanie 12

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=5x$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji $f$ przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi $Ox$ i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej $g$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $g$ jest określona wzorem

$g(x)=5x-5$

$g(x)=5x-1$

$g(x)=5x+1$

$g(x)=5x+5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie przesunięcia

Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w prawo oznacza zastąpienie argumentu x przez x−1.

\[g(x)=f(x-1)\]

2 Obliczenie wzoru

Podstawiamy x−1 do wzoru funkcji f i upraszczamy.

\[g(x)=5(x-1)=5x-5\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: g(x)=5x−5.

\[g(x)=5x-5\]

Sprawdzenie

Punkt (0,0) z wykresu f po przesunięciu powinien być punktem (1,0) wykresu g. Otrzymany wzór spełnia ten warunek.

\[g(1)=5\cdot 1-5=0\]

Zadanie 13

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji kwadratowej $f$ przechodzi przez punkt $(2,15)$. Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu $x=-1$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego

Oś symetrii leży w połowie odległości między miejscami zerowymi. Skoro jednym z nich jest 1, drugim jest −3.

\[\frac{1+x_2}{2}=-1\quad\Rightarrow\quad x_2=-3\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Zapisujemy funkcję za pomocą miejsc zerowych i podstawiamy współrzędne punktu (2,15).

\[f(x)=a(x-1)(x+3),\qquad 15=a(2-1)(2+3)=5a,\qquad a=3\]

3 Zapisanie postaci kanonicznej

Przekształcamy iloczyn przez dopełnienie kwadratu, aby otrzymać postać kanoniczną.

\[f(x)=3(x-1)(x+3)=3(x^2+2x-3)=3\bigl((x+1)^2-4\bigr)=3(x+1)^2-12\]

Odpowiedź

Wzór funkcji w postaci kanonicznej to $f(x)=3(x+1)^2-12$.

\[f(x)=3(x+1)^2-12\]

Sprawdzenie

Dla x=2 wartość funkcji wynosi 15, dla x=1 wynosi 0, a z postaci kanonicznej wynika, że osią symetrii jest x=−1.

\[f(2)=3\cdot 3^2-12=15,\qquad f(1)=3\cdot 2^2-12=0,\qquad x_{\mathrm{oś}}=-1\]

Zadanie 14.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3n^2-3n$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma $S_3$ trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

$18$

$24$

$60$

$90$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie trzech wyrazów

Podstawiamy kolejno $n=1,2,3$ do wzoru ciągu.

\[a_1=3\cdot1^2-3\cdot1=0,\quad a_2=3\cdot2^2-3\cdot2=6,\quad a_3=3\cdot3^2-3\cdot3=18\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy trzy początkowe wyrazy zgodnie z definicją $S_3$.

\[S_3=a_1+a_2+a_3=0+6+18=24\]

Odpowiedź

Suma wynosi 24. Poprawna odpowiedź: B.

\[S_3=24\]

Sprawdzenie

Bezpośrednie zsumowanie składników wzoru daje ten sam wynik.

\[S_3=3(1^2+2^2+3^2)-3(1+2+3)=3\cdot14-3\cdot6=24\]

Zadanie 14.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3n^2-3n$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ są liczbami parzystymi.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie arytmetyczności

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała. Tutaj zależy od n, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[a_{n+1}-a_n=3(n+1)^2-3(n+1)-(3n^2-3n)=6n\]

2 Sprawdzenie parzystości

Liczby n i n−1 są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn pomnożony przez 3 również jest parzysty dla każdego n≥1.

\[a_n=3n(n-1)\]

Odpowiedź

Ciąg jest arytmetyczny: F. Wszystkie jego wyrazy są parzyste: P.

\[\boxed{\mathrm{F},\ \mathrm{P}}\]

Sprawdzenie

Dla n=1 i n=2 różnice kolejnych wyrazów wynoszą odpowiednio 6 i 12, więc nie są stałe. Parzystość każdego wyrazu wynika z iloczynu dwóch kolejnych liczb całkowitych.

\[a_2-a_1=6,\qquad a_3-a_2=12,\qquad 2\mid n(n-1)\Rightarrow 2\mid a_n\]

Zadanie 15.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, dane są wyrazy: $a_1=52$ oraz $a_{25}=2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Różnica ciągu $(a_n)$ jest równa

$\left(-\frac{25}{12}\right)$

$(-2)$

$2$

$\frac{25}{12}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na wyraz ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą wartość r, więc od pierwszego do dwudziestego piątego wyrazu dodajemy ją 24 razy.

\[a_{25}=a_1+24r\]

2 Obliczenie różnicy

Podstawiamy dane wyrazy i rozwiązujemy równanie względem r.

\[2=52+24r\quad\Rightarrow\quad 24r=-50\quad\Rightarrow\quad r=-\frac{25}{12}\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi $-\frac{25}{12}$. Poprawna odpowiedź: A.

\[r=-\frac{25}{12}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obliczonej różnicy otrzymujemy podany wyraz dwudziesty piąty.

\[a_{25}=52+24\left(-\frac{25}{12}\right)=52-50=2\]

Zadanie 15.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, dane są wyrazy: $a_1=52$ oraz $a_{25}=2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma $S_{25}$ dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

$675$

$700$

$1300$

$1325$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na sumę

Suma kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa liczbie wyrazów pomnożonej przez średnią pierwszego i ostatniego wyrazu.

\[S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}\]

2 Obliczenie sumy

Podstawiamy dane wyrazy i wykonujemy działania.

\[S_{25}=\frac{25(52+2)}{2}=25\cdot27=675\]

Odpowiedź

Suma wynosi 675. Odpowiedź A.

\[S_{25}=675\]

Sprawdzenie

Różnica ciągu wynosi −25/12. Obliczenie sumy z pierwszego wyrazu i różnicy daje ponownie 675.

\[r=\frac{2-52}{24}=-\frac{25}{12},\qquad S_{25}=25\cdot52+\frac{25\cdot24}{2}\left(-\frac{25}{12}\right)=1300-625=675\]

Zadanie 16

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzywyrazowy ciąg $(4,\ m,\ m-1)$ jest geometryczny, gdy liczba $m$ jest równa

$(-3)$

$(-2)$

$2$

$3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich.

\[m^2=4(m-1)\]

2 Obliczenie wartości m

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i zapisujemy trójmian jako kwadrat.

\[m^2-4m+4=0\quad\Longleftrightarrow\quad(m-2)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad m=2\]

Odpowiedź

m = 2, odpowiedź C.

\[m=2\]

Sprawdzenie

Dla m = 2 ciąg ma postać (4, 2, 1). Oba ilorazy kolejnych wyrazów wynoszą 1/2, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]

Zadanie 17

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{\sin^{3}25^{\circ}+\sin25^{\circ}\cdot\cos^{2}25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}$ jest równa

$\sin25^{\circ}$

$\cos25^{\circ}$

$\operatorname{tg}25^{\circ}$

$1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W liczniku obu składników występuje sinus tego samego kąta, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\frac{\sin^{3}25^{\circ}+\sin25^{\circ}\cos^{2}25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}=\frac{\sin25^{\circ}(\sin^{2}25^{\circ}+\cos^{2}25^{\circ})}{\cos25^{\circ}}\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Suma kwadratów sinusa i cosinusa wynosi 1, a iloraz sinusa przez cosinus jest tangensem.

\[\frac{\sin25^{\circ}(\sin^{2}25^{\circ}+\cos^{2}25^{\circ})}{\cos25^{\circ}}=\frac{\sin25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}=\operatorname{tg}25^{\circ}\]

Odpowiedź

C. Tangens 25°.

\[\operatorname{tg}25^{\circ}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera, ponieważ kąt 25° jest ostry. Po wstawieniu jedynki trygonometrycznej do licznika otrzymujemy iloraz definiujący tangens, więc wynik jest określony i odpowiada opcji C.

\[\cos25^{\circ}>0,\qquad \sin^{2}25^{\circ}+\cos^{2}25^{\circ}=1\]

Zadanie 18

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ oraz $\beta$ (zobacz rysunek). Sinus kąta $\alpha$ jest równy $\frac{4}{7}$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta $\alpha$ jest równy $\frac{3}{7}$.	P	F
Cosinus kąta $\beta$ jest równy $\frac{4}{7}$.	P	F

Trójkąt prostokątny z kątem prostym przy lewym dolnym wierzchołku, kątem β przy lewym górnym wierzchołku i kątem α przy prawym dolnym wierzchołku.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie cosinusa kąta α

Kąt α jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{4}{7}\right)^2=\frac{33}{49},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{33}}{7}\]

2 Obliczenie cosinusa kąta β

Kąty ostre w trójkącie prostokątnym sumują się do 90°, dlatego cosinus kąta β jest równy sinusowi kąta α.

\[\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \cos\beta=\sin\alpha=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{33}}{7}\ne\frac{3}{7},\qquad \cos\beta=\frac{4}{7}\]

Sprawdzenie

Obliczony cosinus kąta α jest dodatni, a kwadraty sinusa i cosinusa sumują się do 1.

\[\left(\frac{4}{7}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{33}}{7}\right)^2=\frac{16}{49}+\frac{33}{49}=1\]

Zadanie 19.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10$, $24$, $26$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Trójkąt prostokątny z bokami oznaczonymi 10, 24 i 26; kąt prosty przy lewym dolnym wierzchołku.

$\frac{10}{3}$

$4$

$5$

$\frac{80}{13}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Boki 10 i 24 są przyprostokątnymi, więc pole jest połową iloczynu ich długości.

\[P=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

2 Obliczenie promienia

Pole trójkąta jest równe iloczynowi promienia okręgu wpisanego i połowy obwodu.

\[s=\frac{10+24+26}{2}=30,\qquad P=rs,\qquad r=\frac{120}{30}=4\]

Odpowiedź

Promień ma długość 4 jednostek długości. Odpowiedź B.

\[r=4\]

Sprawdzenie

Dla promienia 4 iloczyn promienia i połowy obwodu wynosi 120, czyli tyle samo co obliczone pole trójkąta.

\[4\cdot30=120=\frac{10\cdot24}{2}\]

Zadanie 19.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10,\ 24,\ 26$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych oznaczonych 10 i 24 oraz przeciwprostokątnej oznaczonej 26.

$\frac{80}{13}$

$\frac{20}{3}$

$12$

$13$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór przeciwprostokątnej

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok jest przeciwprostokątną, więc ma długość 26.

\[c=26\]

2 Obliczenie promienia

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej. Promień jest zatem połową jej długości.

\[R=\frac{c}{2}=\frac{26}{2}=13\]

Odpowiedź

Promień ma długość 13. Odpowiedź D.

\[R=13\]

Sprawdzenie

Boki spełniają twierdzenie Pitagorasa, a średnica okręgu o promieniu 13 ma długość równą przeciwprostokątnej.

\[10^2+24^2=676=26^2,\qquad 2R=2\cdot13=26\]

Zadanie 20

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na dziesięciokącie foremnym $ABCDEFGHIJ$ opisano okrąg o środku w punkcie $S$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wpisanego $AGD$ jest równa

Dziesięciokąt foremny ABCDEFGHIJ wpisany w okrąg o środku S, z odcinkami GA i GD oraz zaznaczonym kątem AGD.

$18^\circ$

$36^\circ$

$54^\circ$

$60^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie miary łuku AD

W dziesięciokącie foremnym sąsiednie wierzchołki wyznaczają równe łuki. Łuk od A do D przez B i C obejmuje trzy takie części.

\[\frac{360^\circ}{10}=36^\circ,\qquad 3\cdot36^\circ=108^\circ\]

2 Obliczenie kąta wpisanego

Kąt AGD opiera się na łuku AD, który nie zawiera punktu G. Jego miara jest połową miary tego łuku.

\[\angle AGD=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ\]

Odpowiedź

Kąt AGD ma miarę 54°. Odpowiedź C.

\[\angle AGD=54^\circ\]

Sprawdzenie

Łuk AD obejmuje trzy z dziesięciu równych części okręgu, więc ma 108°. Podwojona miara otrzymanego kąta wynosi 108°, zgodnie z twierdzeniem o kącie wpisanym.

\[2\cdot54^\circ=108^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Kwadrat $\mathcal{K}_2$ jest podobny do kwadratu $\mathcal{K}_1$ w skali $5$ (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa $78$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu $\mathcal{K}_1$ jest równa

$Dwa kwadraty oznaczone $\mathcal{K}_1$ i $\mathcal{K}_2$; kwadrat $\mathcal{K}_2$ jest większy.$

$\sqrt{3}$

$3$

$\sqrt{13}$

$13$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie długości boków

Oznaczamy bok kwadratu $\mathcal{K}_1$ przez $x$. Skala podobieństwa równa 5 oznacza, że bok $\mathcal{K}_2$ ma długość $5x$.

\[x>0,\qquad a_2=5x\]

2 Obliczenie boku

Pole kwadratu jest kwadratem długości jego boku, więc z sumy pól otrzymujemy równanie. Wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ długość boku jest dodatnia.

\[x^2+(5x)^2=78\;\Longrightarrow\;26x^2=78\;\Longrightarrow\;x^2=3\;\Longrightarrow\;x=\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A. Długość boku kwadratu $\mathcal{K}_1$ wynosi $\sqrt{3}$.

\[\boxed{x=\sqrt{3}}\]

Sprawdzenie

Pola kwadratów wynoszą odpowiednio 3 i 75, a ich suma jest równa 78.

\[(\sqrt{3})^2+(5\sqrt{3})^2=3+75=78\]

Zadanie 22

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y=5x+7$. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-4)$. Punkt o współrzędnych $(p,2)$ należy do prostej $l$.

Oblicz $p$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej l

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Ponieważ prosta l przecina oś Oy w punkcie (0,−4), jej wyraz wolny wynosi −4.

\[l:\ y=5x-4\]

2 Obliczenie p

Punkt (p,2) należy do prostej l, więc jego współrzędne spełniają jej równanie.

\[2=5p-4\quad\Rightarrow\quad 5p=6\quad\Rightarrow\quad p=\frac{6}{5}\]

Odpowiedź

p = 6/5

\[p=\frac{6}{5}\]

Sprawdzenie

Dla p = 6/5 prawa strona równania prostej l wynosi 2, więc punkt należy do tej prostej. Jej współczynnik kierunkowy to 5, tak samo jak prostej k.

\[5\cdot\frac{6}{5}-4=6-4=2\]

Zadanie 23

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu

$\mathcal{O}:\ (x+1)^2+(y-2)^2=9$

Okrąg $\mathcal{K}$ jest obrazem okręgu $\mathcal{O}$ w symetrii osiowej względem osi $Oy$ układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem

$(x+1)^2+(y+2)^2=9$

$(x+1)^2+(y-2)^2=9$

$(x-1)^2+(y+2)^2=9$

$(x-1)^2+(y-2)^2=9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie środka i promienia

Porównujemy równanie z postacią $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, aby ustalić środek i promień okręgu.

\[S=(-1,2),\qquad r=\sqrt{9}=3\]

2 Odbicie względem osi $Oy$

Symetria względem osi $Oy$ zmienia znak pierwszej współrzędnej środka, a zachowuje drugą współrzędną i promień.

\[(-1,2)\mapsto(1,2),\qquad r=3\]

3 Zapisanie równania obrazu

Podstawiamy środek $(1,2)$ i promień $3$ do równania okręgu.

\[\mathcal{K}:\ (x-1)^2+(y-2)^2=3^2=9\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[(x-1)^2+(y-2)^2=9\]

Sprawdzenie

Środek otrzymanego okręgu to $(1,2)$, czyli odbicie środka $(-1,2)$ względem osi $Oy$. Promień obu okręgów wynosi $3$.

\[(-1,2)\mapsto(1,2),\qquad \sqrt{9}=3\]

Zadanie 24

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $94{,}5$. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym $4$.

Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie krawędzi

Ponieważ długości tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4, można zapisać je jako kolejne wyrazy tego ciągu, gdzie a>0.

\[a,\ 4a,\ 16a\]

2 Wyznaczenie krawędzi

Podstawiamy te długości do wzoru na pole całkowite prostopadłościanu i korzystamy z dodatniości a.

\[2(a\cdot4a+4a\cdot16a+a\cdot16a)=94{,}5\quad\Rightarrow\quad168a^2=\frac{189}{2}\quad\Rightarrow\quad a^2=\frac{9}{16}\quad\Rightarrow\quad a=\frac34\]

3 Obliczenie objętości

Objętość jest iloczynem długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

\[V=a\cdot4a\cdot16a=64\left(\frac34\right)^3=27\]

Odpowiedź

Objętość prostopadłościanu wynosi 27 jednostek sześciennych.

\[V=27\]

Sprawdzenie

Otrzymane krawędzie mają długości 0,75, 3 i 12, więc są dodatnie i każda kolejna jest cztery razy dłuższa od poprzedniej. Ich pole całkowite wynosi 94,5.

\[2(0{,}75\cdot3+3\cdot12+0{,}75\cdot12)=94{,}5\]

Zadanie 25

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $20$. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

$2$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{10}$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola podstawy

Pole boczne jest cztery razy większe od pola podstawy, więc pole całkowite jest pięciokrotnością pola podstawy.

\[P_c=P_p+P_b=P_p+4P_p=5P_p=20\quad\Rightarrow\quad P_p=4\]

2 Obliczenie krawędzi

Podstawa jest kwadratem. Długość jej krawędzi jest dodatnia, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[a^2=P_p=4\quad\Rightarrow\quad a=2\]

Odpowiedź

A. Długość krawędzi podstawy wynosi 2.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla pola podstawy 4 pole boczne wynosi 16, czyli jest cztery razy większe. Suma pól wynosi 20.

\[P_b=4\cdot4=16,\qquad P_c=4+16=20\]

Zadanie 26

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka ma długość $6$. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^\circ$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego stożka jest równa

$3$

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$3\sqrt{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekrój osiowy

W przekroju osiowym wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 30°. Powstaje trójkąt prostokątny, w którym tworząca jest przeciwprostokątną.

\[\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\]

2 Obliczenie wysokości

Wysokość leży przy kącie 30°, więc korzystamy z cosinusa tego kąta.

\[\cos 30^\circ=\frac{h}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad h=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Wysokość stożka wynosi 3√3. Odpowiedź C.

\[h=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Promień podstawy wynosi 3. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tworzącą długości 6, zgodną z treścią zadania.

\[r=6\sin 30^\circ=3,\qquad h^2+r^2=(3\sqrt{3})^2+3^2=36=6^2\]

Zadanie 27

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dane są dwa zbiory: $X=\{-3,-2,-1,0,1,2\}$ oraz $Y=\{-2,-1,0,1\}$. Losujemy jedną liczbę ze zbioru $X$, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru $Y$ i tworzymy uporządkowaną parę liczb $(x,y)$, gdzie $x$ jest liczbą wylosowaną ze zbioru $X$ oraz $y$ jest liczbą wylosowaną ze zbioru $Y$.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb $(x,y)$, która będzie spełniać warunek $x\cdot y\geq 0$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich par

Każda z 6 liczb ze zbioru X może być połączona z każdą z 4 liczb ze zbioru Y, więc jest 24 jednakowo prawdopodobnych par.

\[|\Omega|=6\cdot4=24\]

2 Liczba par sprzyjających

Iloczyn jest nieujemny, gdy obie liczby są ujemne, obie są dodatnie albo przynajmniej jedna jest zerem. Te przypadki się nie nakładają.

\[|A|=3\cdot2+2\cdot1+(1\cdot4+5\cdot1)=17\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę par sprzyjających przez liczbę wszystkich par.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{17}{24}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 17/24.

\[P(A)=\frac{17}{24}\]

Sprawdzenie

Iloczyn jest ujemny dla 3 par z ujemnym x i dodatnim y oraz 4 par z dodatnim x i ujemnym y. Pozostałych par jest 24−7=17, co potwierdza wynik.

\[24-(3\cdot1+2\cdot2)=17\]

Zadanie 28

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra $0$, jest

$108$

$117$

$126$

$162$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zero na końcu

Gdy cyfrą jedności jest 0, cyfra setek i cyfra dziesiątek muszą być różne od zera. Każdą wybieramy na 9 sposobów.

\[9\cdot 9=81\]

2 Zero w środku

Gdy cyfrą dziesiątek jest 0, cyfrę setek wybieramy na 9 sposobów, a parzystą cyfrę jedności spośród 2, 4, 6, 8.

\[9\cdot 4=36\]

3 Suma przypadków

Przypadki są rozłączne i wyczerpują wszystkie możliwości, ponieważ cyfra setek nie może być zerem.

\[81+36=117\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 117. Odpowiedź B.

\[117\]

Sprawdzenie

W pierwszym przypadku jedyne zero jest na końcu, a w drugim w środku. Obie grupy zawierają wyłącznie trzycyfrowe liczby parzyste, więc suma 81+36 obejmuje każdą szukaną liczbę dokładnie raz.

\[81+36=117\]

Zadanie 29

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a$, $b$, $c$, jest równa $12$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: $2a$, $3a$, $2b$, $3b$, $2c$, $3c$, jest równa

$10$

$12$

$30$

$60$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Suma trzech liczb

Średnia to suma liczb podzielona przez ich liczbę, więc z podanej średniej obliczamy sumę.

\[\frac{a+b+c}{3}=12\quad\Rightarrow\quad a+b+c=36\]

2 Średnia sześciu liczb

Grupujemy wyrazy z tymi samymi współczynnikami, a następnie dzielimy ich sumę przez 6.

\[\frac{2a+3a+2b+3b+2c+3c}{6}=\frac{5(a+b+c)}{6}=\frac{5\cdot36}{6}=30\]

Odpowiedź

C. Średnia wynosi 30.

\[30\]

Sprawdzenie

Sześć liczb o średniej 30 ma sumę 180. Tyle samo wynosi suma liczb z zadania: 5 · 36 = 180.

\[6\cdot30=180=5\cdot36\]

Zadanie 30.1

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Liczba punktów	0	1	2	3	4	5
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów	4	2	5	5	11	5

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie …………… uczniów tej klasy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Mnożymy każdą liczbę punktów przez liczbę uczniów, którzy ją uzyskali, a sumę dzielimy przez 32.

\[\frac{0\cdot4+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot5+4\cdot11+5\cdot5}{32}=\frac{96}{32}=3\]

2 Policzenie wyników niższych od średniej

Wynik niższy niż 3 punkty uzyskali uczniowie z 0, 1 lub 2 punktami.

\[4+2+5=11\]

Odpowiedź

W wykropkowanym miejscu należy wpisać 11.

\[11\]

Sprawdzenie

Liczebności sumują się do 32. Pozostałych 21 uczniów uzyskało co najmniej 3 punkty, więc 11 + 21 = 32.

\[4+2+5+5+11+5=32,\qquad 11+(5+11+5)=32\]

Zadanie 30.2

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Liczba punktów	0	1	2	3	4	5
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów	4	2	5	5	11	5

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa …………… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie środkowych miejsc

Ponieważ uczniów jest 32, mediana jest średnią wyników na miejscach 16. i 17. po uporządkowaniu.

\[\frac{32}{2}=16,\qquad 16+1=17\]

2 Odczytanie wyników

Wynik 3 punkty zajmuje miejsca od 12. do 16., a wynik 4 punkty od 17. do 27. Obliczamy średnią dwóch środkowych wyników.

\[\operatorname{Me}=\frac{3+4}{2}=3{,}5\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 3,5 punktu.

\[\operatorname{Me}=3{,}5\]

Sprawdzenie

Liczebności sumują się do 32. Przed wynikami równymi 3 są 4+2+5=11 wyników, więc 16. wynik to 3; kolejne 11 wyników równych 4 zaczyna się na miejscu 17.

\[4+2+5+5+11+5=32,\qquad 11+5=16\]

Zadanie 30.3

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Liczba punktów	0	1	2	3	4	5
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów	4	2	5	5	11	5

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa …………… .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie dominanty

Dominanta to liczba punktów uzyskana przez największą liczbę uczniów. Największa liczebność w tabeli to 11 i odpowiada 4 punktom.

\[11>5,\quad 11>4,\quad 11>2\]

Odpowiedź

Dominanta jest równa 4.

\[D=4\]

Sprawdzenie

Liczebności sumują się do 32, a żadna inna liczba punktów nie została uzyskana przez 11 lub więcej uczniów.

\[4+2+5+5+11+5=32\]

Zadanie 31

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk $Z$ ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem

\[Z(x)=(500+50x)(16-x)\]

gdzie:
$x$ – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki $x\geq 1$ i $x\leq 14$,
$Z$ – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Roczny zysk $Z$ ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla $x$ równego

$3$

$4$

$7$

$14$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie wzoru

Rozwijamy iloczyn i zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej, aby wyznaczyć jej największą wartość.

\[Z(x)=(500+50x)(16-x)=-50x^2+300x+8000=-50(x-3)^2+8450\]

2 Wyznaczenie maksimum

Kwadrat jest nieujemny, więc zysk jest największy, gdy $x-3=0$. Liczba 3 jest pełną liczbą złotych i spełnia warunek $1\leq x\leq14$.

\[(x-3)^2\geq0\quad\Longrightarrow\quad Z(x)\leq8450,\qquad Z(3)=8450\]

Odpowiedź

Największy roczny zysk jest dla obniżki o 3 zł. Odpowiedź A.

\[x=3,\qquad Z_{\max}=8450\ \mathrm{zł}\]

Sprawdzenie

Dla każdego dopuszczalnego x różnica między zyskiem przy obniżce o 3 zł a zyskiem przy obniżce o x zł jest nieujemna; wynosi zero tylko dla x równego 3.

\[Z(3)-Z(x)=50(x-3)^2\geq0\]

Iloczyn \(2\cdot\log_3 5\) jest równy \(\log_3 25\).	P	F
Suma \(2+\log_3 5\) jest równa \(\log_3 10\).	P	F

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami parzystymi.	P	F

Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{3}{7}\).	P	F
Cosinus kąta \(\beta\) jest równy \(\frac{4}{7}\).	P	F