Zadanie 31 — matura 2025, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem

\[Z(x)=(500+50x)(16-x)\]

gdzie:
\(x\) – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki \(x\geq 1\) i \(x\leq 14\),
\(Z\) – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla \(x\) równego

\(3\)

\(4\)

\(7\)

\(14\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie wzoru

Rozwijamy iloczyn i zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej, aby wyznaczyć jej największą wartość.

\[Z(x)=(500+50x)(16-x)=-50x^2+300x+8000=-50(x-3)^2+8450\]

2 Wyznaczenie maksimum

Kwadrat jest nieujemny, więc zysk jest największy, gdy \(x-3=0\). Liczba 3 jest pełną liczbą złotych i spełnia warunek \(1\leq x\leq14\).

\[(x-3)^2\geq0\quad\Longrightarrow\quad Z(x)\leq8450,\qquad Z(3)=8450\]

Odpowiedź

Największy roczny zysk jest dla obniżki o 3 zł. Odpowiedź A.

\[x=3,\qquad Z_{\max}=8450\ \mathrm{zł}\]

Sprawdzenie

Dla każdego dopuszczalnego x różnica między zyskiem przy obniżce o 3 zł a zyskiem przy obniżce o x zł jest nieujemna; wynosi zero tylko dla x równego 3.

\[Z(3)-Z(x)=50(x-3)^2\geq0\]