Zadanie 24 — matura 2025, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2025 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(94{,}5\). Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym \(4\).

Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie krawędzi

Ponieważ długości tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4, można zapisać je jako kolejne wyrazy tego ciągu, gdzie a>0.

\[a,\ 4a,\ 16a\]

2 Wyznaczenie krawędzi

Podstawiamy te długości do wzoru na pole całkowite prostopadłościanu i korzystamy z dodatniości a.

\[2(a\cdot4a+4a\cdot16a+a\cdot16a)=94{,}5\quad\Rightarrow\quad168a^2=\frac{189}{2}\quad\Rightarrow\quad a^2=\frac{9}{16}\quad\Rightarrow\quad a=\frac34\]

3 Obliczenie objętości

Objętość jest iloczynem długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

\[V=a\cdot4a\cdot16a=64\left(\frac34\right)^3=27\]

Odpowiedź

Objętość prostopadłościanu wynosi 27 jednostek sześciennych.

\[V=27\]

Sprawdzenie

Otrzymane krawędzie mają długości 0,75, 3 i 12, więc są dodatnie i każda kolejna jest cztery razy dłuższa od poprzedniej. Ich pole całkowite wynosi 94,5.

\[2(0{,}75\cdot3+3\cdot12+0{,}75\cdot12)=94{,}5\]