Zamknięte1 pkt
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny. | P | F |
| Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami parzystymi. | P | F |
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Sprawdzenie arytmetyczności
W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała. Tutaj zależy od n, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.
\[a_{n+1}-a_n=3(n+1)^2-3(n+1)-(3n^2-3n)=6n\]
2 Sprawdzenie parzystości
Liczby n i n−1 są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn pomnożony przez 3 również jest parzysty dla każdego n≥1.
\[a_n=3n(n-1)\]
Odpowiedź
Ciąg jest arytmetyczny: F. Wszystkie jego wyrazy są parzyste: P.
\[\boxed{\mathrm{F},\ \mathrm{P}}\]
Sprawdzenie
Dla n=1 i n=2 różnice kolejnych wyrazów wynoszą odpowiednio 6 i 12, więc nie są stałe. Parzystość każdego wyrazu wynika z iloczynu dwóch kolejnych liczb całkowitych.
\[a_2-a_1=6,\qquad a_3-a_2=12,\qquad 2\mid n(n-1)\Rightarrow 2\mid a_n\]